Parabolün Teğet Denklemi

parabolün teğet denklemi

Parabol Konu Anlatımı - Parabol Formülleri Ve Örnek Soru Çözümü

Üniversiteye hazırlık sürecinde öğrencilerin karşısına çıkan konulardan biridir parabol. Bu nedenle gözardı edilmemesi gereken matematik konularının başında gelir. Parabol sorularını çözebiliyor olmak sınavda birçok kişinin de önüne geçebilme imkanı sunar. Bunun için ise yapılması gereken parabol konu anlatımını tabiri caizse yalayıp yutar şekilde hakim olmaktır. Biz de sizler için parabol konu anlatımını bir araya getirdik. İşte, parabol formülleri ve örnek soru çözümleri...

Parabol Konu Anlatımı

Parabol'ün konu anlatımı şu şekilde verilmektedir: a, b, c, ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere;

y = ax2 + bx + c fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir. İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiklerinin gösterdiği eğriye ise parabol denir.

Kural:

f(x) = ax²+ bx + c fonksiyonunun grafiği (parabol) yandaki gibi

kolları yukarı doğru olan ya da kolları aşağı doğru olan bir eğridir.

Kural:

f: R-R, f(x): = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün);

y eksenini kestiği noktanın; apsisi 0, ordinatı f(0) = c dir.
x eksenini kestiği noktaların ordinatları 0, apsisleri

f(x) = 0 denkleminin kökleridir.

Kural:

f: R-R, f(x): = ax2 + bx + c =0 denkleminde,D = b2 – 4ac olmak üzere,

D > 0 ise, parabol x eksenini farklı iki noktada keser.
D < 0="" ise,="" parabol="" x="" eksenini="">
D = 0 ise, parabol x eksenine teğettir.

Parabolün Tepe Noktası

Parabolün tepe noktası şekilde olduğu gibi gösterilir ve tepe noktaları T(r,k)'dir.

Parabolün Grafiği

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için bazı kurallar gerekmektedir. Bu kurallar şu şekildedir:

Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur.
Parabolün tepe noktası bulunur.
Parabolün kesim noktaları ve tepe noktası koordinat düzleminde gösterilip, bu noktalardan geçecek biçimde grafik çizilir.

Parabol Denklemi Nasıl Yazılır?

Parabolünün enkleminin yazılması için üzerinde bulunan üç noktanın bilinmesi gerekmektedir.

(a, b), (m, n) ve (k, t) noktaları y = f(x) parabolü üzerinde ise;

b = f(a), n = f(m), t = f(k) eşitlikleri kullanılarak parabolün denklemi bulunur.

Parabol Formülleri

Tepe noktası formülü: y = a.(x - r)2 + k ise T(r, k)
Grafik formülleri: y = ax2 + bx + c için ∆ = b2 – 4ac
Üç noktası bilinen parabolün denklem formülü: (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) noktaları biliniyorsa;

y1 = f(x1) = a.(x1)²+b(x1)+c

y2 = f(x2) = a.(x2)²+b(x2)+c

y3 = f(x3) = a.(x3)²+b(x3)+c

a,b,c sayıları bulunur ve f(x)=ax²+bx+c denklemi yazılır.

Parabol Denklemi Yazma

x eksenini kestiği noktaları verilen parabolün denklemi;

y=a(x-x₁)(x-x₂)

(1, – 2), B(–2, 16) ve C(2, –4) noktalarından geçen parabolün denklemi

y=x²-5x+2'dir.

Parabol Örnek Soru Çözümleri

f(x)= mx fonksiyonunun grafiği (parabol) (-2,8) noktasından geçtiğine göre, m değerini bulalım.

Grafiğin (-2,8) noktasından geçmesi için, bu noktanın denklemi sağlaması gerekir. Buna göre,

f(x)= mx ise,

f(-2)= 8'dir.

m.(-2)= 8

4m= 8

m=2'dir

dir.

y=ax²+8x+16a

Parabolü x eksenine teğet olup kolları aşağı doğrudur. Buna göre parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

64-64a²=0

a²=1

a=1

a=-1

a negatif olduğundan -1 olmalıdır.

y=-x²+8k-16

y eksenini kestiği nokta için x=0 verilirse, y=-16 olacaktır.

Parabol ve Doğrunun Birbirine Göre Durumu

Bir doğru ile bir parabolün birbirlerine göre durumu, parabolün \( x \) eksenine göre durumuna benzer şekilde üç farklı şekilde olabilir: Buna göre bir doğru \( d_1 \) doğrusu gibi parabolü iki noktada kesebilir, \( d_2 \) doğrusu gibi tek bir noktada (teğet) kesebilir ya da \( d_3 \) doğrusu gibi kesmeyebilir.

Verilen bir doğru ve parabolün birbirlerine göre durumlarını anlayabilmek için iki denklemi ortak çözeriz ve oluşan ikinci dereceden denklemin deltasına bakarız.

\( \Delta = b^2 - 4ac \quad \) denklemin deltası olmak üzere,

\( \Delta \gt 0 \Longrightarrow \) Doğru parabolü iki noktada keser.

\( \Delta = 0 \Longrightarrow \) Doğru parabolü tek bir noktada (teğet) keser.

\( \Delta \lt 0 \Longrightarrow \) Doğru parabolü kesmez.

Ortak çözüm sonucunda elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin kökleri bize doğrunun parabolü kestiği noktaların apsis değerlerini verir (şekildeki \( x_1 \), \( x_2 \) ve \( x_3 \) noktaları). Kesişim noktalarının ordinat değerlerini bulmak için bu apsis değerleri parabol ya da doğru denkleminde yerine koyarız (kesişim noktaları parabol ve doğru için ortak olduğu için apsis noktaları her iki denklemde aynı ordinat değerlerini verecektir).

Burada izlediğimiz yöntem parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları bulmak için kullandığımız yöntemle aynıdır. \( x \) ekseni \( y = 0 \) doğrusuna karşılık geldiği için, parabol denklemini sıfıra eşitlerken parabolü \( y = 0 \) doğrusu ile ortak çözüyor oluruz.

SORU 1:

\( y = x^2 - 2x + m + 2 \) parabolü ile \( y = x - 1 \) doğrusu birbirine teğet ise \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster

Verilen parabol ve doğru birbirine teğet ise bu iki denklemin ortak çözümünden elde edilen 2. dereceden denklem tek köklü, yani deltası sıfır olmalıdır.

Buna göre iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 2x + m + 2 = x - 1 \)

\( x^2 - 3x + m + 3 = 0 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = m + 3 \)

\( (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 3) = 0 \)

\( 9 - 4m - 12 = 0 \)

\( m = -\dfrac{3}{4} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

\( y = x^2 - 4x + 3 \) parabolü ile \( y = x + 1 \) doğrusunun kesim noktalarının apsisleri toplamı nedir?

Çözümü Göster

Verilen parabol ve doğru denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz denklemin kökleri bu iki grafiğin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

Buna göre iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4x + 3 = x + 1 \)

\( x^2 - 5x + 2 = 0 \)

Bu denklemin deltası sıfırdan büyük olduğu için iki reel sayı kökü vardır.

Bizden istenen kesişim noktalarının apsis değerlerinin toplamı bu denklemin kökler toplamına eşittir, dolayısıyla ikinci derece denklemlerin kökler toplamı formülü ile bulabiliriz.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)

\( = -\dfrac{-5}{1} = 5 \)

O halde kesişim noktalarının apsisleri toplamı 5 olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

\( y = x^2 - 5x + 2 \) parabolü ile \( y = 6 - x \) doğrusunun kesim noktaları \( A \) ve \( B \) olduğuna göre \( [AB] \) doğru parçasının orta noktası nedir?

Çözümü Göster

Verilen parabol ve doğru denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz denklemin kökleri bu iki grafiğin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

Buna göre iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 5x + 2 = 6 - x \)

\( x^2 - 4x - 4 = 0 \)

Bu denkleminin kökleri \( A \) noktasının apsisi \( x_1 \) ve \( B \) noktasının apsisi \( x_2 \)'dir.

\( [AB] \) doğru parçasının orta noktası olan \( C \) noktasının koordinatlarını aşağıdaki orta nokta formülü ile bulabiliriz.

\( C(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}) \)

\( x_1 + x_2 \) toplamını yukarıdaki parabolün kökleri toplamı formülü ile bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{-4}{1} = 4 \)

\( C \) noktasının apsisini bulmak için kökler toplamını yerine koyalım.

\( C(\dfrac{4}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}) = C(2, \dfrac{y_1 + y_2}{2}) \)

\( C \) noktası iki kesişim noktasını birleştiren \( y = 6 - x \) doğrusu üzerinde olduğundan doğru denklemini sağlayacaktır.

Doğru denkleminde \( x = 2 \) koyalım.

\( y = 6 - x = 6 - 2 = 4 \)

O halde \( C(2, 4) \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

\( f(x) = x^2 - 4x - 2 \) parabolü ile \( y = ax + b \) doğrusu iki farklı \( A \) ve \( B \) noktasında kesişmektedir.

\( [AB] \) doğru parçasının orta noktası \( C(3, 4) \) olduğuna göre, \( b \) kaçtır?

Çözümü Göster

Verilen parabol ve doğru denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz denklemin kökleri bu iki grafiğin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

Buna göre iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4x - 2 = ax + b \)

\( x^2 - (4 + a)x - 2 - b = 0 \)

Kesişim noktalarının apsisleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) ise \( C(3, 4) \) noktasının apsis değeri \( \frac{x_1 + x_2}{2} \) olur.

\( \dfrac{x_1 + x_2}{2} = -\dfrac{b}{2a} = 3 \)

\( \dfrac{4 + a}{2 \cdot 1} = 3 \)

\( a = 2 \)

Buna göre doğrunun denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = 2x + b \)

\( C(3, 4) \) noktası \( A \) ve \( B \) noktalarını birleştiren bu doğrunun üzerinde olduğu için noktanın koordinatları doğru denklemini sağlayacaktır.

\( 4 = 2 \cdot 3 + b \)

\( b = -2 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

\( y \) eksenini \( (0, 5) \) noktasında kesen \( d \) doğrusu, \( y \) eksenini \( (0, -9) \) noktasında kesen reel katsayılı ve başkatsayısı 1 olan ikinci dereceden \( f \) fonksiyonu ile \( A \) ve \( B \) noktalarında kesişiyor.

\( d \) doğrusu \( f \) fonksiyonunun simetri eksenini \( (2, 7) \) noktasında kestiğine göre, \( A \) ve \( B \) noktalarının ordinatları çarpımı kaçtır?

Çözümü Göster

\( d \) doğrusu \( y \) eksenini \( (0, 5) \) noktasında kestiği için sabit terimi \( 5 \)'tir.

\( y = ax + 5 \)

\( d \) doğrusu aynı zamanda \( (2, 7) \) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatlarını yazarak \( a \)'yı bulalım.

\( 7 = 2a + 5 \Longrightarrow a = 1 \)

\( d: y = x + 5 \)

\( f \) fonksiyonu \( y \) eksenini \( (0, -9) \) noktasında kestiği için sabit terimi \( -9 \)'dur.

\( f(x) = x^2 + bx - 9 \)

\( f \) fonksiyonunun simetri ekseni \( (2, 7) \) noktasından geçtiğine göre, tepe noktasının apsis değeri \( 2 \)'dir.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{b}{2} = 2 \)

\( b = -4 \)

\( f(x) = x^2 - 4x - 9 \)

\( A \) ve \( B \) noktalarını bulmak için her iki denklemi ortak çözelim.

\( x + 5 = x^2 - 4x - 9 \)

\( x^2 - 5x - 14 = 0 \)

\( (x + 2)(x - 7) = 0 \)

Buna göre parabol ve doğrunun kesişim noktaları \( A(-2, m) \) ve \( B(7, n) \) olur. Bu noktaların ordinat değerlerini bulmak için apsis değerlerini iki denklemden birinde yerine koyalım.

\( y = m = -2 + 5 = 3 \)

\( y = n = 7 + 5 = 12 \)

Ordinat değerlerinin çarpımı \( 3 \cdot 12 = 36 \) olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Bir Parabolün Bir Doğruya En Yakın Noktası

Bir parabolün kendisini kesmeyen bir doğruya en yakın noktasını aşağıdaki yöntemle bulabiliriz.

Parabol: \( y = ax^2 + bx + c \)

Doğru: \( d_1: y = mx + c_1 \)

Bir parabolün bir doğruya en yakın noktası

Parabolün üzerindeki böyle bir nokta (şekildeki \( A \) noktası), aynı zamanda \( d_1 \) doğrusuna paralel ve parabole teğet diğer bir \( d_2 \) doğrusunun parabolü teğet kestiği nokta olacaktır.
\( d_2 \) doğrusu \( d_1 \) doğrusuna paralel ve aynı eğime sahip olduğu için denkleminde sadece sabit terimi farklı olacaktır (\( d_2: y = mx + c_2 \)).
\( d_2 \) doğrusu parabolü tek noktada kestiği için parabol ve \( d_2 \) denklemlerini ortak çözüp elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin deltasını sıfıra eşitleriz.
Delta sıfıra eşitlediğimizde denklemdeki tek bilinmeyen olan \( c_2 \) sabit terimini, dolayısıyla \( d_2 \) doğru denklemini elde ederiz.
Parabol ve \( d_2 \) doğru denklemlerini ortak çözüp \( A \) noktasının apsisini tek kök olarak buluruz.
Bu apsis değerini parabol ya da \( d_2 \) denkleminde yerine koyduğumuzda \( A \) noktasının ordinat değerini buluruz.

\( d_1 \) doğrusunun parabole en kısa uzaklığını bulmak istersek, \( d_1 \) ve yukarıdaki yöntemle bulduğumuz \( d_2 \) doğru denklemlerini kullanarak analitik geometride gördüğümüz iki paralel doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanabiliriz.

\( d_1 \) doğrusu üzerindeki parabole en yakın noktayı (şekildeki \( B \) noktasını) bulmak istersek, \( A \) noktasından geçen ve \( d_1/d_2 \) doğrularına dik doğrunun denklemini bulup, bu doğrunun \( d_1 \) doğrusu ile kesişim noktasını bulabiliriz.

Bir Parabole Orijinden Çizilen Teğetler

Bir parabole orijinden çizilen teğet doğruların eğimlerinin çarpımı parabolün deltasına eşittir.

Parabol: \( y = ax^2 + bx + c \)

Teğet doğru 1: \( y = m_1x \)

Teğet doğru 2: \( y = m_2x \)

\( m_1 \cdot m_2 = \Delta = b^2 - 4ac \)

İSPATI GÖSTER

Bir parabole orijinden kaç teğet doğru çizilebileceğini bilmeden eğimi \( m \) olan genel bir teğet doğru denklemi yazalım.

Parabol: \( y = ax^2 + bx + c \)

Teğet doğru: \( y = mx \)

Doğrular parabole teğet olduğu için parabolü tek bir noktada keserler, dolayısıyla bu iki denklemin ortak çözümünün deltasının sıfır olması gerekir.

\( ax^2 + bx + c = mx \)

\( ax^2 + (b - m)x + c = 0 \)

\( \Delta = (b - m)^2 - 4ac = 0 \)

\( b^2 - 2bm + m^2 - 4ac = 0 \)

İfadeyi \( m \)'ye göre düzenleyelim.

\( m^2 - 2bm + b^2 - 4ac = 0 \)

Ortak çözüm sonucunda ikinci dereceden bir denklem elde etmemiz denklemin kökleri olarak iki \( m \) değeri elde edeceğimizi, dolayısıyla orijinden bir parabole teğet iki farklı doğru çizebileceğimizi göstermektedir (tüm ikinci derece denklemlerde olduğu gibi bazı durumlarda tek bir kök ve sıfır kök de olabilecektir). Bize verilecek herhangi bir parabol denkleminin \( a \), \( b \), \( c \) katsayılarını bu eşitlikte yerine koyduğumuzda, bu denklemin kökleri bize teğet doğruların \( m_1 \) ve \( m_2 \) eğimlerini verecektir.

Dikkat edilirse, elde ettiğimiz \( m \)'ye göre bu denklemin kökler çarpımına karşılık gelen \( b^2 - 4ac \) ifadesi aynı zamanda orijinal parabol denkleminin deltasına eşittir. Dolayısıyla bir parabole orijinden çizilen teğet doğruların eğimlerinin çarpımının parabol denkleminin deltasına eşit olduğu sonucuna varabiliriz.

\( m_1 \cdot m_2 = \Delta = b^2 - 4ac \)

İspatta hata bildirin

Bunun bir sonucu olarak, bir parabole orijinden çizilen teğet doğruların birbirine dik olması istenirse, dik doğruların eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olacağı için parabolün deltasını \( -1 \)'e eşitlememiz yeterli olacaktır.

Orijinden bir parabole çizilen teğetlerin dik olma koşulu:

\( \Delta = b^2 - 4ac = m_1 \cdot m_2 = -1 \)

Yukarıdaki ispatta ortak çözüm sonucu elde ettiğimiz denklemde kökler toplamına karşılık gelen \( 2b \) ifadesi de parabole çizilen teğet doğruların eğimleri toplamını verir. Bu teğet doğruların eğimleri toplamının sıfır olması istenirse, \( 2b \) ifadesinin sıfıra eşit olması, yani parabol denkleminde \( b \) katsayısının sıfır olması gerekecektir.

Bir Parabole x Eksenini Kestiği Noktalardan Çizilen Teğetler

Bir parabole \( x \) eksenini kestiği noktalardan çizilen teğet doğruların eğimlerinin çarpımı parabolün deltasının ters işaretlisine eşittir.

Parabol: \( y = ax^2 + bx + c \)

Teğet doğru 1: \( y = m_1x + c_1 \)

Teğet doğru 2: \( y = m_2x + c_2 \)

\( m_1 \cdot m_2 = -\Delta = -(b^2 - 4ac) \)

İSPATI GÖSTER

Bir parabole \( x \) eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetlerin eğimlerini parabolün kökleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz (bu eğim değerlerini nasıl bulduğumuzu türev konusuna bırakıyoruz).

Parabol: \( y = ax^2 + bx + c \)

Parabolün kökleri: \( x_1, x_2 \)

1. teğet doğrunun eğimi: \( m_1 = 2ax_1 + b \)

2. teğet doğrunun eğimi: \( m_2 = 2ax_2 + b \)

Bu teğet doğruların eğimlerinin çarpımını alalım.

\( m_1 \cdot m_2 = (2ax_1 + b)(2ax_2 + b) \)

\( = 4a^2x_1x_2 + 2abx_1 + 2abx_2 + b^2 \)

\( = 4a^2x_1x_2 + 2ab(x_1 + x_2) + b^2 \)

Parabol kökler toplamı: \( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)

Parabol kökler çarpımı: \( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)

Yukarıdaki iki ifadeyi denklemde yerine koyalım.

\( = 4a^2 \dfrac{c}{a} - 2ab\dfrac{b}{a} + b^2 \)

\( = 4ac - 2b^2 + b^2 \)

\( = 4ac - b^2 \)

\( = -(b^2 - 4ac) \)

Parantez içindeki ifadenin parabol denkleminin deltası olduğunu hatırlarsak, parabole \( x \) eksenini kestiği noktalardan çizdiğimiz teğet doğruların eğimleri çarpımının parabolün deltasının ters işaretlisi olduğunu görürüz.

\( m_1 \cdot m_2 = -\Delta = -(b^2 - 4ac) \)

İspatta hata bildirin

Bunun bir sonucu olarak, bu teğet doğruların birbirine dik olması istenirse, dik doğruların eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olacağı için parabolün deltasını \( +1 \)'e eşitlememiz yeterli olacaktır.

\( x \) eksenini kestiği noktalardan bir parabole çizilen teğetlerin dik olma koşulu:

\( \Delta = b^2 - 4ac = -m_1 \cdot m_2 = 1 \)

SORU 6:

\( y = -4x^2 + 6x + 3 \) parabolünün \( x - 2y + 5 = 0 \) doğrusuna dik olan teğetinin denklemi nedir?

Çözümü Göster

\( x - 2y + 5 = 0 \) doğrusunun eğimini aşağıdaki formülle bulabiliriz.

\( m = -\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{2} \)

Dik doğruların eğimleri çarpımı \( -1 \) olduğu için bu doğruya dik olan doğrunun eğimi \( m = -2 \) olur.

Buna göre bu dik doğrunun denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = mx + c = -2x + c \)

Verilen parabol ve bu doğru birbirine teğet ise bu iki denklemin ortak çözümünden elde edilen 2. dereceden denklem tek köklü, yani deltası sıfır olmalıdır.

\( -4x^2 + 6x + 3 = -2x + c \)

\( -4x^2 + 8x + 3 - c = 0 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( a = -4, \quad b = 8, \quad c = 3 - c \)

\( 8^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (3 - c) = 0 \)

\( 64 + 48 - 16c = 0 \)

\( c = 7 \)

O halde teğet doğrusunun denklemi \( y = -2x + 7 \) olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

\( f(x) = x^2 - 2x + m \)

parabolünün tepe noktası \( y = 2x + 3 \) doğrusu üzerinde ise \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \)

Buna göre parabol ve doğru \( x = 1 \) apsisli noktada kesişirler, dolayısıyla bu noktada ordinat değerleri eşittir.

Parabolün \( x = 1 \) apsisli noktadaki değerini bulalım.

\( f(1) = 1^2 - 2(1) + m = 1 - 2 + m \)

Doğrunun \( x = 1 \) apsisli noktadaki değerini bulalım.

\( 2(1) + 3 = 5 \)

Bu iki ordinat değeri eşit olmalıdır.

\( 5 = 1 - 2 + m \)

\( m = 6 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 8:

\( y = 2x^2 - 3x + 1 \) parabolü ile \( y = x + k \) doğrusu analitik düzlemde kesişmediklerine göre \( k \)'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir?

Çözümü Göster

Verilen parabol ve doğru kesişmiyorlarsa denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz parabol denkleminin deltası sıfırdan küçük olmalıdır (yani bu parabolün bir kökü olmamalıdır).

Buna göre iki denklemi ortak çözelim.

\( 2x^2 - 3x + 1 = x + k \)

\( 2x^2 - 4x + 1 - k = 0 \)

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 2, \quad b = -4, \quad c = 1 - k \)

\( \Delta \lt 0 \) olmalıdır.

\( (-4)^2 - 4(2)(1 - k) \lt 0 \)

\( 16 - 8 + 8k \lt 0 \)

\( k \lt -1 \)

Buna göre \( k \)'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri \( -2 \) olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 9:

\( y = x^2 - m(x - 1) + 2 \)

parabolü ile \( y = mx + 2 \) doğrusu birbirine teğet olduğuna göre \( m \)'nin alabileceği değerleri bulunuz.

Çözümü Göster

Verilen parabol ve doğru birbirine teğet ise tek bir noktada kesişirler, dolayısıyla ortak çözüldüklerinde elde edeceğimiz parabolün deltası sıfır olmalıdır.

\( x^2 - mx + m + 2 = mx + 2 \)

\( x^2 - 2mx + m = 0 \)

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -2m, \quad c = m \)

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( (-2m)^2 - 4(1)m = 0 \)

\( 4m^2 - 4m = 0 \)

\( 4m(m - 1) = 0 \)

\( m \in \{0, 1\} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 10:

\( f(x) = mx^2 + 2x + 3 \) parabolü ile \( y = mx + n \) doğrusunun kesişim noktalarının apsisleri toplamı 3 olduğuna göre \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster

Parabol ve doğru denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz \( x \) değerleri iki denklemin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

\( mx^2 + 2x + 3 = mx + n \)

\( mx^2 + (2 - m)x + 3 - n = 0 \)

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = m, \quad b = 2 - m, \quad c = 3 - n \)

Denklemin kökler toplamının 3 olduğunu biliyoruz.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2 - m}{m} = 3 \)

\( -2 + m = 3m \)

\( m = -1 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 11:

\( y = x + 2 \) doğrusu ile \( y = x^2 + mx + 6 \) parabolü kesişmediğine göre \( m \)'nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Çözümü Göster

Parabol ve doğru kesişmiyorlarsa iki denklemi ortak çözdüğümüzde elde ettiğimiz parabolün deltası sıfırdan küçük olmalıdır.

\( x^2 + mx + 6 = x + 2 \)

\( x^2 + (m - 1)x + 4 = 0 \)

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = m - 1, \quad c = 4 \)

\( \Delta \lt 0 \)

\( b^2 - 4ac \lt 0 \)

\( (m - 1)^2 - 4(1)(4) \lt 0 \)

\( (m - 1)^2 - 16 \lt 0 \)

\( -4 \lt m - 1 \lt 4 \)

\( -3 \lt m \lt 5 \)

Buna göre \( m \)'nin alabileceği 7 tam sayı değer vardır (\( m \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \).

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 12:

Şekildeki \( d \) doğrusu \( y = x^2 \) parabolüne \( A(p, k) \) noktasında teğettir.

Buna göre \( p + k \) toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

\( d \) doğrusunun denklemini yazalım.

\( \dfrac{x}{-1} + \dfrac{y}{-4} = 1 \)

\( 4x + y = -4 \)

\( y = -4x - 4 \)

Parabolün ve doğrunun denklemlerini ortak çözdüğümüzde kesişimleri olan \( A \) noktasının apsis değeri olan \( p \)'yi elde ederiz.

\( p^2 = -4p - 4 \)

\( p^2 + 4p + 4 = 0 \)

\( (p + 2)^2 = 0 \)

\( p = -2 \)

\( p \) değerini parabol ya da doğru denkleminde yerine koyarak \( A \) noktasının ordinat değerini bulalım.

\( k = -4p - 4 = -4(-2) - 4 = 4 \)

Buna göre \( p + k = -2 + 4 = 2 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Parabol, teğet, kutup doğrusu - (Paylaşım)

Barış DEMİR

unread,

Nov 11, 2016, 11:34:56 PM11/11/16



Reply to author

Forward

Delete

You do not have permission to delete messages in this group

Link

Report message as abuse

Show original message

Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message

to TMOZ

Koniklerden merkezil parabolün bir noktasından çizilen teğet denklemi ile merkezil parabole dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerinin değme noktalarından geçen doğrunun denkleminin ispatları ekteki pdf ve ayrıca görsellerde yer almaktadır.

Özel olarak merkezil parabole uygulanan çözümlerin, merkezil elips ve hiperbol ile ötelenmiş koniklerde yapılacak ispatlar için meraklılarına yol gösterici olacağını düşünerek paylaşıyorum.

Saygılarımla...

serhat yaman

unread,

Nov 11, 2016, 11:40:58 PM11/11/16



Reply to author

Forward

Delete

You do not have permission to delete messages in this group

Link

Report message as abuse

Show original message

Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message

to tmoz

Ilyas Kanat

unread,

Nov 11, 2016, 11:55:26 PM11/11/16



Reply to author

Forward

Delete

You do not have permission to delete messages in this group

Link

Report message as abuse

Show original message

Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message

to TMOZ

Elinize sağlık sayın hocam çok sağolun

Hatice Mankan

unread,

Nov 12, 2016, 4:39:12 AM11/12/16



Reply to author

Forward

Delete

You do not have permission to delete messages in this group

Link

Report message as abuse

Show original message

Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message

to tmoz

Şahin Gökgöz

unread,

Nov 12, 2016, 11:20:49 AM11/12/16



Reply to author

Forward

Delete

You do not have permission to delete messages in this group

Link

Report message as abuse

Show original message

Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message

to [email protected]

teşekkürler

Ayhan Yanağlıbaş

unread,

Nov 12, 2016, 11:58:47 AM11/12/16



Reply to author

Forward

Delete

You do not have permission to delete messages in this group

Link

Report message as abuse

Show original message

Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message

to [email protected]

Barış DEMİR

unread,

Nov 12, 2016, 2:52:39 PM11/12/16



Reply to author

Forward

Delete

You do not have permission to delete messages in this group

Link

Report message as abuse

Show original message

Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message

to TMOZ

Rica ederim arkadaşlar..

mcht

unread,

Nov 12, 2016, 3:57:13 PM11/12/16



Reply to author

Forward

Delete

You do not have permission to delete messages in this group

Link

Report message as abuse

Show original message

Either email addresses are anonymous for this group or you need the view member email addresses permission to view the original message

to TMOZ

Hocam teşekkür ederiz

Parabolün Denkleminin Bulunması

SORU 3:

\( f(x) = ax^2 + bx + c \) parabol grafiğinin eksenleri kestiği bölümleri aşağıda verilmiştir.

Buna göre \( a + b + c \) toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

Verilen grafiklere göre parabol \( x \) eksenini tek bir \( x = -4 \) noktasında, \( y \) eksenini de \( y = -32 \) noktasında kesmektedir.

Buna göre parabolün tepe noktası \( x \) eksenine teğet olduğu \( T(-4, 0) \) noktasıdır.

Tepe noktası \( T(r, k) \) olan parabolün denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \)'dır.

\( f(x) = a(x + 4)^2 + 0 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği \( (0, -32) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(0) = a(0 + 4)^2 = -32 \)

\( a = -2 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = -2(x + 4)^2 \)

Parantez içindeki ifadeyi açalım.

\( f(x) = -2(x^2 + 8x + 16) \)

\( f(x) = -2x^2 - 16x - 32 \)

Buna göre \( a + b + c = -2 - 16 - 32 = -50 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

\( y = (k + 1)x^2 + (2k - 3)x - 6 \)

parabolünün tepe noktası \( x = 1 \) doğrusu üzerinde ise \( k \) değerini bulunuz.

Çözümü Göster

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = k + 1, \quad b = 2k - 3, \quad c = -6 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Tepe noktası \( x = 1 \) doğrusu üzerinde ise \( r = 1 \) olur.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = 1 \)

\( -\dfrac{2k - 3}{2(k + 1)} = 1 \)

\( 3 - 2k = 2k + 2 \)

\( k = \dfrac{1}{4} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

\( f(x) = 3(x - 2)^2 + 5 \)

parabolünün tepe noktasının koordinatlarının çarpımı kaçtır?

Çözümü Göster

Tepe noktası bilinen parabolün denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) şeklindedir.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Verilen denklem tepe noktası bilinen parabolün denklemi formunda olduğu için \( r = 2 \) ve \( k = 5 \) olur.

Buna göre \( r \cdot k = 2 \cdot 5 = 10 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

\( f(x) = x^2 - 2mx + m + 5 \) parabolünün simetri ekseni \( x = 4 \) doğrusudur. Buna göre \( f(x) \) parabolünün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatını bulunuz.

Çözümü Göster

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -2m, \quad c = m + 5 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) ise simetri ekseni tepe noktasından geçen \( x = r \) doğrusudur.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2m}{2 \cdot 1} = 4 \)

\( m = 4 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = x^2 - 2(4)x + 4 + 5 = x^2 - 8x + 9 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği nokta \( f(0) \) değeri yani parabol denkleminin sabit terimidir.

\( f(0) = 9 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

Yukarıdaki grafiğe göre \( f(x) \)'in alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözümü Göster

Parabol \( x \) eksenini -3 ve 1 noktalarında kestiği için denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( f(x) = a(x + 3)(x - 1) \)

Parabolün başkatsayısını bulmak için \( y \) eksenini kestiği noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(0) = a(0 + 3)(0 - 1) = -3 \)

\( a = 1 \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = (x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3 \)

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = 2, \quad c = -3 \)

Kolları yukarı yönlü olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1 \)

\( k = f(r) = f(-1) \)

\( = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 8:

\( f(x) = x^2 - mx + n - 5 \)

parabolünün tepe noktası \( T(3, -5) \) olduğuna göre, \( m + n \) değeri nedir?

Çözümü Göster

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = n - 5 \)

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-m}{2 \cdot 1} = 3 \)

\( m = 6 \)

Tepe noktasının koordinatlarını fonksiyonda yerine koyalım.

\( f(3) = -5 \)

\( 3^2 - 6(3) + n - 5 = -5 \)

\( n = 9 \)

\( m + n = 6 + 9 = 15 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 9:

Yukarıda grafiği verilen parabolün tepe noktasının ordinatı \( -1 \)'dir.

Buna göre \( b \) kaçtır?

Çözümü Göster

Parabol \( x \) eksenini \( x = 0 \) ve \( x = 2 \) noktalarında kesmektedir.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

Tepe noktasının apsis değeri köklerin apsis değerlerinin ortalamasıdır.

\( r = \dfrac{0 + 2}{2} = 1 \)

\( r = -\dfrac{b}{2a} = 1 \)

\( b = -2a \)

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = ax^2 - 2ax \)

Tepe noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.

\( f(1) = a(1)^2 - 2a(1) = -1 \)

\( a - 2a = -1 \)

\( a = 1 \)

\( b = -2a = -2 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 10:

\( f(x) = a(x - 3 + b)^2 + b - 2 \) parabolünün tepe noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

Denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) şeklinde verilen bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olur.

Verilen parabol denklemini düzenleyelim.

\( f(x) = a(x - (3 - b))^2 + b - 2 \)

Buna göre tepe noktasının koordinatları \( r = 3 - b \) ve \( k = b - 2 \) olur.

Tepe noktasının koordinatlar toplamı \( r + k = 3 - b + b - 2 = 1 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 11:

Yukarıda başkatsayısı 8 olan ve orijinden geçen \( f \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. \( T \) noktası parabolün tepe noktasıdır.

\( \abs{OA} = \abs{OB} \) olduğuna göre, \( f(\frac{3}{2}) \) kaçtır?

Çözümü Göster

Parabolün tepe noktasının koordinatlarına \( T(r, k) \) diyelim.

Tepe noktası bilinen parabolün denklemi aşağıdaki gibidir.

\( f(x) = 8(x - r)^2 - k \)

Tepe noktasının apsisi köklerin apsis değerlerinin ortalamasına eşittir.

Buna göre \( A \) noktasının koordinatları \( A(2r, 0) \) olur.

\( \abs{OA} = \abs{OB} \) olduğu için \( B \) noktasının koordinatları \( B(0, 2r) \) olur.

Dolayısıyla tepe noktasının koordinatları \( T(r, 2r) \) olur.

Tepe noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(x) = 8(x - r)^2 - 2r \)

\( A \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.

\( f(2r) = 8(2r - r)^2 - 2r = 0 \)

\( 8r^2 - 2r = 0 \)

\( 2r(4r - 1) = 0 \)

\( r \gt 0 \) olduğu için \( r = \frac{1}{4} \) bulunur.

Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = 8(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} \)

\( f(\frac{3}{2}) = 8(\frac{3}{2} - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} \)

\( = 12 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 12:

\( y = f(x) \) parabolünün simetri ekseni \( x = 2 \) doğrusudur.

\( f \) fonksiyonunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı \( -3 \) ve aldığı en büyük değer \( -1 \)'dir.

Buna göre \( f(1) \) kaçtır?

Çözümü Göster

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) ve denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) olmak üzere,

Simetri ekseni \( x = 2 \) ise tepe noktasının apsis değeri \( r = 2 \) olur.

Parabolün aldığı en büyük değer varsa başkatsayı negatiftir, parabolün kolları aşağı yönlüdür ve parabol en büyük değerini tepe noktasında alır. Buna göre tepe noktasının ordinat değeri \( k = -1 \) olur.

Buna göre parabolün denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( f(x) = a(x - 2)^2 - 1 \)

Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı \( -3 \) ise \( f(0) = -3 \) olur.

\( f(0) = a(0 - 2)^2 - 1 = -3 \)

\( 4a - 1 = -3 \)

\( a = -\dfrac{1}{2} \)

Buna göre parabolün denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( f(x) = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 - 1 \)

\( f(1) \) değerini bulalım.

\( f(1) = -\frac{1}{2}(1 - 2)^2 - 1 = -\dfrac{3}{2} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

nest...

18216 18217 18218 18219 18220