8 Sınıf Köklü Sayılar Konu Anlatımı

Bu yazımızda sizlere 8. sınıf  Köklü İfadeler hakkında bilgilendireceğiz. Aşağıda sizlere başlıklar halinde konularımızı anlattık. Üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz.

Kareköklü Sayılara Giriş ve Tam Kare Sayılar

Verilen bir sayının, hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemine, karekök alma işlemi denir. Karekök ” √ ” sembolü ile gösterilir. √5, karekök beş olarak okunur. Bir sayının karesi negatif olamayacağından kökün içerisinde negatif sayı bulunmaz. Bir tam sayının karesi olan, diğer bir ifadeyle karekökleri tam sayı olan 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, gibi doğal sayılara tam kare sayılar denir.

Tam Kare Sayılar

Bir tam sayının karesi olan, diğer bir ifade ile karekökü tam sayı olan doğal sayılara tam kare sayılar denir. Tam kare sayılara karesel sayılar da denir.1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 192, 256, 289, … sayıları tam kare sayılardır.

Örnek:

Alanı 49 birim kare olan bir karenin bir kenarı kaç birimdir?

Kenarı birimdir.

Kareköklü Bir Sayıyı a√b Şeklinde Yazma

Karekök işlemi de bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulmadır. Tam kare sayılar köksüz dışarı çıkarken tam kare olmayan sayılar nasıl dışarı çıkar bulalım.

Kareköklü bir sayıyı şeklinde yazmak için karekök içindeki çarpanlardan en az biri tam kare sayı olacak şekilde iki sayının çarpımı olarak yazılır. Tam kare olan çarpanların karekökleri, karekök dışına kat sayı olarak yazılır.

eşitliği vardır.

Örnekler:

sayısını şeklinde yazalım.

=

sayısını şeklinde yazalım.

Kareköklü Sayılarda Katsayıyı Kök İçine Alma

Katsayı karekök içine alınırken katsayının karesi alınarak (kendisi ile çarpılarak) kök içindeki sayı ile çarpılır ve kök içine yazılır.

Örnekler:

Kareköklü Sayılarda Sıralama

Kareköklü sayılarda sıralama yapmak için katsayılar kök içine alınır. Sonra kök içindeki sayılar karşılaştırılır.

Örnekler:

Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yaparken, kök içleri aynı olan terimler kendi aralarında toplanır veya çıkarılır. Katsayılar arasında işlem yapılır ve bulunan sonuç ortak köke katsayı olarak yazılır.

Toplama işlemi eşitliği,

Çıkarma işlemi eşitliği ile yazılabilir.

Örnekler:

işleminin sonucunu bulalım.

işleminin sonucunu bulalım.

Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi

Kareköklü sayılarla çarpma işlemi yapılırken varsa katsayılar çarpılarak sonuca katsayı olarak yazılır. Kök içindeki sayılar çarpılarak sonuçta kök içinde yazılır ve kök dışına çıkarma işlemi yapılır.

Örnek:

işleminin sonucunu bulalım.

Kareköklü sayılarla bölme işlemi yapılırken varsa katsayılar bölünerek bölüme katsayı olarak yazılır. Sonra kök içindeki sayıların aynı kök içinde yazılır ve bölme işlemi yapılır.

Örnek:

işleminin sonucunu bulalım.

Ondalık Kesirlerin Karekökleri

Ondalık kesirler, rasyonel sayıya çevrildikten sonra karekök dışına çıkartılabilir.

Örnekler:

sayısının değerini bulalım.

sayısının değerini bulalım.

Gerçek Sayılar

Rasyonel Sayılar ve İrrasyonel Sayıların birleşmesiyle oluşan sayı kümesine Gerçek Sayılar denir. Gerçek sayılara Reel Sayılar veya Gerçel Sayılar da denilir. Gerçek sayılar kümesi “R” harfi ile gösterilir.

LGS Matematik için Tıklayınız

       Bir doğal sayın karesi olan sayılara tam kare sayılar denir.

    0 , 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 , 256 , 289 , 361 , 400  … sayıları tam kare sayılardır.

Not:

        Verilen sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemine, karekök alma denir.

           Alanı 169  olan karenin bir kenar uzunluğu kaç cm’dir?

     Çözüm:

          Karenin alanı, bir kenarının karesine eşittir.

          Karesi 169 olan sayıyı bulmamız gerekiyor.

         169 'un asal çarpanlarını bulduğumuzda 13. 13 'ün 169 olduğunu görürüz.

         169'un karekökü 13 olur.

     Tam Kare Olmayan Kareköklü Sayıların Değerlerinin Hangi İki Doğal Sayı Arasında Olduğunu Bulma  

 Kareköklü Bir ifadeyi a kök b Biçiminde Yazma ve akök b  Biçimindeki ifadede Kat Sayıyı Kök İçine Alma

Kök içindeki sayı asal çarpanlarına ayrılır.   

     Karesi olan sayılar kök dışına, çarpan olarak alınır ve kat sayı ile çarpılır.

Kat sayı kök içine alınırken, karesi alınarak kök içindeki sayı ile çarpılır 

   örneğin 2 kök 3 sayısında, 2 kök içerisine alınırken 2'nin karesi alınır. Bulunan 4 sayısı kök içindeki 3 ile çarpılır ve sonuç 12 bulunur.

Kareköklü İfadelerle Çarpma İşlemi

* Kat sayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır.

karekök içindeki bir sayının kendisiyle çarpımı, kökü yok eder 

Doğal Sayılar ( N ) :   0, 1, 2, 3, ….

Tam Sayılar ( Z ) :   … - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 …

Rasyonel Sayılar ( Q ) :  b = 0  ve  a ile b birer tam sayı olmak üzere    şeklinde yazılabilen sayılardır.

                                        - 5 , - , 0, 6 , 125 ,  …

İrrasyonel Sayılar ( I ) :    şeklinde yazılamayan sayılardır.

                                ( pi ) ve  karekök  2   gibi  kök dışına çıkamayan sayılar ile  35,1232465… gibi devirli olmayan sayılar irrasyonel sayıdır

Gerçek Sayılar ( R ) :  Rasyonel ve irrasyonel ( rasyonel olmayan ) sayıların bir araya gelmesiyle oluşan sayı    kümesidir.

Devirli sayılar

 Devirli sayılar, birer rasyonel sayıdır.

  Devirli sayılar rasyonel sayılara dönüştürülürken,

    Sayının tamamı ( virgül kullanmadan ) - devretmeyen kısım / devreden basamak kadar 9, virgülden sonra devretmeyen kadar 0 yazılır.

Karekök içindeki sayıları kök dışına çıkarırken daha hızlı işlem yapabilmek için 1'den 20 ye kadar olan sayıların karesini ezbere bilmenizde fayda var. Böylece hem üslü sayılar konusunda hem de kareköklü sayılar konusundaki işlemleri çok daha hızlı bir şekilde çözebilirsiniz. Aşağıda 400'e kadar ki sayılar arasından karekök dışına çıkabilen sayıları yazdım. Çokça soru çözdüğünüzde de zaten ister istemez ezberlemiş olacaksınız.

KAREKÖK DIŞINDAKİ ÇARPANIN KÖK İÇİNE ALINMASI

Kareköklü bir sayının kat sayısını kök içine almak için; kat sayının karesini alarak kök içindeki sayı ile çarpar ve kök içinde yazarız.
Örnekler:

Yukarıdaki örneklerde de görüldüğü üzere, karekök dışındaki bir sayıyı karekök içinde almak için tek yapmamız gereken; Karekök dışındaki sayının karesini alarak, karekök içindeki sayı ile çarpmak ve sonucu karekök içinde yazmaktır.

Pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır. Yani, payın karekökünü bulup paya, paydanın karekökünü bulup paydaya yazarız.

Tam sayılı kesirleri ise öncelikle bileşik kesre çevirip daha sonra kareköklerini buluruz.
Örnekler

Kareköklü bir sayıyı a kök b biçiminde yazma işlemini iki farklı yoldan yapabilirsiniz.

» Karekök içindeki sayı, çarpanlarından birisi bir doğal sayının karesi olacak şekilde iki sayının çarpımı şeklinde yazılır. Karesel olarak yazılan sayı karekök dışına çıkarılır.

» Karekök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırarak da kök dışına çıkarabilirsiniz.

Sizde çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkarmayı yapabilirsiniz.

Her iki çözüm yolu da aynı kapıya çıkıyor aslında ama bazen doğru çarpanları bulamayacağımız büyük bir sayı ile karşılaşabiliriz. O zaman asal çarpanlarına ayırarak karekök dışına çıkarma yolunu tercih ederiz.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA

Kareköklü sayılarda sıralama işlemi yaparken; Verilen kareköklü ifadelerin karekök dışına yaklaşık olarak kaç çıktığını bularak da yapabiliriz ama ben size daha pratik ve güvenilir olan yoldan sıralama yapmanızı öneririm. Şöyle ki;

Verilen kareköklü ifadelerde karekök dışında bir sayı var ise bu sayıyı karekök içine alınız. Hepsini kök içine aldığınızda sayısal değeri büyük olan sayı daha büyük olacaktır. Aynı doğal sayılarda yaptığınız sıralama işlemi gibi yani. Ama büyün sayıların karekök içinde olması gerekiyor. Soruda verilen sayıların hepsi zaten karekök içinde ise o zaman sayısal değeri büyük olan daha büyüktür diyebilirsiniz. Örnekleri incelediğinizde daha iyi kavrayacaksınız.

Kareköklü sayılarda sıralama işlemi için daha fazla örnek soru çözmeye ihtiyaç yok bence, çünkü yapmanız gereken şey çok kolay. Verilen bütün sayıları karekök içine aldıktan sonra doğal sayılarda sıralama yapıyormuş gibi sıralama yapmalısınız.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken kökler içindeki sayıların aynı olması gerekiyor. Eğer aynı değil ise önce karekök içleri aynı yapılmaya çalışılır.

Kareköklerin içindeki sayılar aynı ise; katsayılar toplanır ve kat sayı olarak yazılır. Daha Sonra ortak kök kat sayının sağına çarpım durumunda yazılır.

Dikkat: Katsayısında herhangi bir sayı bulunmayan kareköklü sayıların kat sayısını 1 olarak almayı unutmayınız. 

Kareköklerin içindeki sayılar farklı ise; Önce karekök içleri aynı yapılmaya çalışılır, daha sonra kat sayılar arasında toplama veya çıkarma işlemi yapılır.

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi görüldüğü gibi çok kolay bir işlemdir. Önemli olan karekök içindeki sayıları aynı olmasıdır. Böylece kat sayılar arasında toplama ve çıkarma işlemi yaparak sonucu rahatlıkla bulabilirsiniz.

Kareköklü sayılarda dört işlemi doğru ve hızlı bir şekilde yapabilmenin yolu verilen sayıları doğru bir şekilde karekök dışına çıkarmak ile mümkündür. 1 den 20 ye kadar ki sayıların karesini ezbere bilirseniz, verilen kareköklü sayıları da rahatlıkla karekök dışına çıkarabilirsiniz.

Kareköklü Sayılar Çözümlü Sorular bölümünden daha fazla örnek soru çözümüne ulaşabilir veya online Karekök Testlerimize katılarak kendinizi değerlendirebilirsiniz.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ

Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yapılırken; Kat sayılar çarpılıp kat sayı olarak yazılır. Daha sonra karekök içinde verilen sayılar çarpılıp, sonucu kök içine yazılır. En son olarak kök dışına çıkabilen sayı varsa çarpan olarak kök dışına çıkarılır.

Kareköklü Bir Sayının Karesini Alma
Kareköklü bir sayının karesini aldığınızda, kök kalkar. Kareköklü sayının katsayısı var ise, katsayının karesi alınır.

KAREKÖKLÜ SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

Kareköklü sayılarda bölme işlemi yapılırken; Kat sayılar bölünüp kat sayı olarak yazılır. Daha sonra karekök içindeki sayılar bölünerek sonucu kök içine yazılır. Son olarak sadeleştirmeler yapılıp kök dışına çıkabilen sayı varsa kök dışına çarpan olarak çıkarılır.

Örneklerde de görüldüğü üzere tek yapmamız gereken katsayıları birbirine bölüp katsayı olarak yazmak, karekök içindeki sayıları birbirine bölüp kök içinde katsayının yanına yazmaktır. Kareköklü bir sayıyı doğal sayıya kesinlikle bölmeyiniz. Sadece kareköklü sayıları birbirine bölebilirsiniz.

ONDALIK KESİRLERİN KAREKÖKÜ

Ondalık kesirlerin karekökü iki farklı yoldan bulunabilir. Hangi yol daha kolayınıza gelirse soruları o yoldan çözebilirsiniz.
1.Yol : Verilen ondalıklı kesir, rasyonel sayı biçiminde yazılarak karekökleri alınabilir. Örnekleri inceleyiniz.

2.Yol : Ondalık kesirlerin virgülden sonraki basamak sayıları çift ise, tam kare kökleri alınabilir. İlk önce virgül yokmuş gibi sayı karekök dışına çıkarılır. Daha sonra, virgülden sonraki her iki basamak için bir basamak sağdan sola doğru virgülle ayırırız.

GERÇEK SAYILAR

RASYONEL SAYI NEDİR?

TANIM: İki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi "Q" harfi ile gösterilir. (Rasyonel sayılar İtalyanca "quotient" kelimesinin baş harfi olarak Q işareti ile gösterilir.)

# Rasyonel sayılar ab şeklinde yazılabilen sayılardan oluşur. Burada b sayısı sıfırdan farklıdır. Yani Doğal Sayılar (N), Tamsayılar (Z), kesirler, ondalık sayılar, devirli ondalık sayılar ve karekök alma işleminde karekökten kurtulabilen sayılar rasyonel sayılardır.

# Tüm doğal sayılar ve tam sayılar, paydalarına 1 yazılıp iki tam sayının oranı şeklinde yazılabildiği için rasyonel sayılardır. ÖRNEK: −7 =−7/1

# Tüm kesirler rasyonel sayılardır.
ÖRNEK: −1/3

# Ondalıklı sayılar ve devirli ondalıklı sayılar kesir olarak yazılabildiği için rasyonel sayılardır.
ÖRNEK: 0,2=2/10

1,33333... =12/9

# Kök alma işleminde kökten kurtulabilen sayılar rasyonel sayıdır.
ÖRNEK: 2√9=2.3=6=6/1




İRRASYONEL SAYI NEDİR?



TANIM: İki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi "I" harfi ile gösterilir. Köklü sayılar, virgülden sonra devirsiz olarak sonsuza kadar devam eden sayılar (π sayısı, e sayısı gibi) irrasyonel sayılara örnektir.

ÖRNEK: √2 , √15 , π , 0,3452678354…, 4,95368462…, gibi sayılar irrasyonel sayılardır.

# İrrasyonel sayıların sayı doğrusunda hangi sayıların arasında yer aldığını bulmak için Kareköklü Sayıların Yaklaşık Değeri konusuna bakabilirsiniz.

GERÇEK SAYILAR (REEL SAYILAR)

TANIM: Rasyonel Sayılar ve İrrasyonel Sayılar kümesinin birleşim kümesine Gerçek Sayılar denir. Gerçek sayılara Reel Sayılar veya Gerçel Sayılar da denilir. Gerçek sayılar kümesi "R" harfi ile gösterilir.

# Sayı doğrusundaki tüm noktalara karşılık gelen gerçek sayı vardır. Bu sayı rasyonel de olabilir irrasyonel de olabilir. Diğer bir ifadeyle gerçek sayılar kümesi sayı doğrusunu doldurur.

# Doğal sayılar kümesi tam sayılar kümesinin, tam sayılar kümesi ise rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir. N ⊂ Z ⊂ Q

# Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesi ayrık kümelerdir. Yani ortak elemanları yoktur. Bu iki kümenin birleşiminden Gerçek Sayılar kümesi oluşur. R = Q ∪ I

4

Kareköklü İfadeler Test indir 1


Kareköklü İfadeler Test indir 2

Kareköklü İfadeler Test indir 3

Kareköklü İfadeler Test indir 4

Kareköklü İfadeler Test indir 5

Kareköklü İfadeler Test indir 6

LGS Kareköklü İfadeler Çıkmış Sorular İndir.

Örnek: Yüzler basamağı iki olan kaç tane üç basamaklı tamkare sayı vardır?
Çözüm: On beş çarpı on beş eşittir 225, on altı çarpı on altı eşittir 256 ve on yedi çarpı on yedi eşittir 289 olduğundan 3 tane vardır.
Örnek: k eşittir iki üzeri yedi çarpı üç çarpı beş üzeri iki sayısının tamkare olabilmesi için aşağıdakilerden hangisiyle çarpılmalıdır.
Çözüm: Tamkare sayıların tüm çarpanlarının kuvvetleri çift sayıdır. k sayısında iki ve üç sayılarının kuvvetleri tek sayıdır. k sayısının 3 ve 2 ile çarparsak tamkare sayı olur. Yani k nın 6 ile çarpılması gerekmektedir.

Otuz altı santimetre kare alana sah,p b,r karenin alanının hesaplamak için altı çarpı altı eşittir otuz altı eşitliğini kullanabiliriz. karekök otuz altı eşittir altı. Karenin bir kenar uzunluğu altı santimetredir.
Örnek: Şekilde alanları seksen bir santimetre kare ve yüz yirmi bir santimetre kare olan iki kare verilmiştir. A, B, K doğrusal üç nokta ise AK uzunluğu kaç santimetredir.
Çözüm: AB uzunluğunu bulmak için karekök 121 eşittir 11 santimetre, BK uzunluğunu bulmak için karekök 81 eşittir 9 santimetre, buradan AK uzunluğu 11 artı 9 eşittir 20 santimetre bulunur.
* x kare eşittir a ise x eşittir karekök a veya x eşittir eksi karekök a dır.
Not: karekök dokuz eşittir üç doğru, karekök dokuz eşittir eksi üç yanlıştır.
Karekök içindeki sayı negatif olamaz. karekök eksi eksi dokuz eşittir üç olur. Karekök eksi dokuz olamaz.
Örnek: kare kök on iki çarpı x eşittir A, A bir doğal sayı ise x yerine gelebilecek en küçük doğal sayı kaçtır.
Çözüm: on iki sayısının asal çarpanları 2 üzeri 2 ve 3 tür. Dolayısıyla A nın doğal sayı olabilmesi için x in en az 3 olması gerekmektedir.

Örnek: Yüzler basamağı iki olan kaç tane üç basamaklı tamkare sayı vardır?
Çözüm: On beş çarpı on beş eşittir 225, on altı çarpı on altı eşittir 256 ve on yedi çarpı on yedi eşittir 289 olduğundan 3 tane vardır.
Örnek: k eşittir iki üzeri yedi çarpı üç çarpı beş üzeri iki sayısının tamkare olabilmesi için aşağıdakilerden hangisiyle çarpılmalıdır.
Çözüm: Tamkare sayıların tüm çarpanlarının kuvvetleri çift sayıdır. k sayısında iki ve üç sayılarının kuvvetleri tek sayıdır. k sayısının 3 ve 2 ile çarparsak tamkare sayı olur. Yani k nın 6 ile çarpılması gerekmektedir.

Otuz altı santimetre kare alana sah,p b,r karenin alanının hesaplamak için altı çarpı altı eşittir otuz altı eşitliğini kullanabiliriz. karekök otuz altı eşittir altı. Karenin bir kenar uzunluğu altı santimetredir.
Örnek: Şekilde alanları seksen bir santimetre kare ve yüz yirmi bir santimetre kare olan iki kare verilmiştir. A, B, K doğrusal üç nokta ise AK uzunluğu kaç santimetredir.
Çözüm: AB uzunluğunu bulmak için karekök 121 eşittir 11 santimetre, BK uzunluğunu bulmak için karekök 81 eşittir 9 santimetre, buradan AK uzunluğu 11 artı 9 eşittir 20 santimetre bulunur.
* x kare eşittir a ise x eşittir karekök a veya x eşittir eksi karekök a dır.
Not: karekök dokuz eşittir üç doğru, karekök dokuz eşittir eksi üç yanlıştır.
Karekök içindeki sayı negatif olamaz. karekök eksi eksi dokuz eşittir üç olur. Karekök eksi dokuz olamaz.
Örnek: kare kök on iki çarpı x eşittir A, A bir doğal sayı ise x yerine gelebilecek en küçük doğal sayı kaçtır.
Çözüm: on iki sayısının asal çarpanları 2 üzeri 2 ve 3 tür. Dolayısıyla A nın doğal sayı olabilmesi için x in en az 3 olması gerekmektedir.