Kökleri Bulma

kökleri bulma

Denklemlerin Karmaşık Sayı Kökleri

SORU 1:

Katsayıları reel sayı olan ikinci dereceden denklemin bir kökü $ 3 + 2i $ olduğuna göre diğer kökü bulunuz.

Çözümü Göster

Reel katsayılı ikinci dereceden denklemin bir kökü karmaşık sayı ise diğer kökü de karmaşık sayıdır ve kökler birbirinin eşleniğidir.

$ x_1 = 3 + 2i \Longrightarrow x_2 = 3 - 2i $

Kökleri $ x_1 $ ve $ x_2 $ olan ikinci dereceden denklemi yazalım.

$ x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0 $

Kökler toplamı $ = x_1 + x_2 = 3 + 2i + 3 - 2i = 6 $

Kökler çarpımı $ = x_1 \cdot x_2 = (3 + 2i)(3 - 2i) = 3^2 + 2^2 = 13 $

Bu katsayıları yerine koyduğumuzda denklemi aşağıdaki gibi buluruz.

$ x^2 - 6x + 13 = 0 $

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

$ a $ ve $ b $ birer reel sayı olmak üzere,

$ x^2 - ax + b = 0 $ denkleminin köklerinden biri $ 1 + i $'dir.

Verilenlere göre $ a \cdot b $ kaçtır?

Çözümü Göster

Katsayıları reel sayı olan ikinci dereceden bir denklemin bir kökü karmaşık sayı ise diğer kökü de karmaşık sayıdır ve kökler birbirinin eşleniğidir.

$ x_1 = 1 + i, \quad x_2 = 1 - i $

Denklemin katsayılar toplamını bulalım.

$ x_1 + x_2 = (1 + i) + (1 - i) = 2 = a $

Denklemin katsayılar çarpımını bulalım.

$ x_1 \cdot x_2 = (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 2 = b $

Buna göre $ a \cdot b = 4 $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

$ x^2 + 6x + m = 0 $

denkleminin reel kökü yoksa $ m $'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Çözümü Göster

Denklemin reel kökü yoksa denklemin deltası sıfırdan küçük olmalıdır.

$ b^2 - 4ac \lt 0 $

$ 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot m \lt 0 $

$ 4m \gt 36 $

$ m \gt 9 $

$ m $'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 10 olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

Köklerinden ikisi $ 2 $ ve $ 3 - i $ olan ve başkatsayısı 1 olan üçüncü dereceden reel katsayılı polinom denklemini bulunuz.

Çözümü Göster

Reel katsayılı bir polinom denkleminin bir kökü karmaşık sayı ise bu kökün eşleniği de denklemin bir köküdür.

Buna göre sorudaki denklemin kökleri aşağıdaki gibidir.

$ x_1 = 2 $, $ x_2 = 3 - i $, $ x_3 = 3 + i $

Buna göre denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

$ (x - 2)(x - (3 - i))(x - (3 + i)) = 0 $

Parantezleri genişletelim.

$ (x - 2)(x^2 - 6x + 10) = 0 $

$ x^3 - 6x^2 + 10x - 2x^2 + 12x - 20 = 0 $

$ x^3 - 8x^2 + 22x - 20 = 0 $

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

$ x^4 = 16 $ denkleminin karmaşık sayılar kümesinde tanımlı çözüm kümesi nedir?

Çözümü Göster

$ x^4 - 16 = 0 $

İfadeyi çarpanlarına ayıralım.

$ (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0 $

$ (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0 $

İlk iki çarpanı sıfır yapan değerler $ 2 $ ve $ -2 $ reel sayılarıdır.

$ x^2 + 4 = 0 $

$ x^2 = -4 $

$ x = \pm2i $

Üçüncü çarpanı sıfır yapan değerler $ -2i $ ve $ 2i $ karmaşık sayılarıdır.

Buna göre denklemin çözüm kümesi aşağıdaki dört değerdir.

Çözüm kümesi: $ x \in \{\pm 2, \pm 2i\} $

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

$ z $ bir karmaşık sayı olmak üzere,

$ 2x^2 - (z - 3)x + 80 = 0 $ denkleminin bir kökü $ 4 + 2i $'dir.

Buna göre $ z $ karmaşık sayısı nedir?

Çözümü Göster

Verilen denklem karmaşık sayı katsayılı ikinci dereceden bir denklemdir, buna göre karmaşık kökler birbirinin eşleniği olmak zorunda değildir.

Denklemin kökler çarpımı reel sayı olduğu için ikinci kök $ 4 + 2i $ ile çarpıldığında bir reel sayı verecek şekilde $ k(4 - 2i) $ formunda olmalıdır. İkinci kök $ k $ katsayısı dışında birinci kökün eşleniği olmadığı durumda iki kökün çarpımı $ i $ sayısını içerecektir.

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

$ \dfrac{80}{2} = (4 + 2i) \cdot k(4 - 2i) $

$ 40 = k(4^2 + 2^2) $

$ k = 2 $

Denklemin kökler toplamını bulalım.

$ -\dfrac{-(z - 3)}{2} = 4 + 2i + 2(4 - 2i) $

$ \dfrac{z - 3}{2} = 12 - 2i $

$ z - 3 = 24 - 4i $

$ z = 27 - 4i $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Bir denklemin diskriminantı ($\Delta$ ile gösteriliyor) reel kökleri hakkında bilgi verir. Delta formülünün ispatını sayfa sonunda göstereceğiz. Biraz karışık görünse de, ispatı anlamak sadece çarpanlara ayırma bilgisi gerektiriyor. $\Delta$ bize ikinci derece bir denklemin iki reel kökü mü var, bunlar farklı mı eşit mi veya hiç reel kökü yok mu, bunları gösteriyor.

Önce $\Delta$ yı nasıl hesaplayacağız.
\[\Delta=b^{2}-4ac\]

Eğer $\Delta\gt 0$ ise denklemin iki farklı reel kökü vardır.

Eğer $\Delta=0$ ise denklemin iki reel kökü vardır fakat bunlar aynıdır. Yani aslında denklemi sağlayan bir tane $x$ sayısı bulabiliyoruz. Dikkat edelim gene de iki kökü var diyoruz. Kökler çakışıktır, ifade bir tam karedir veya çözüm kümesi bir elemanlıdır, ifadelerinin hepsi $\Delta=0$ demektir.

Eğer $\Delta \lt 0$ ise denklemin reel kökü yoktur, yani çözüm kümesi boş kümedir.

Bir kaç örnek yazalım, örneğin cevabını bildiğimiz bir soru yazalım. Denklemimizin kökleri $1$ ve $2$ olsun. Denklem:
\[ x^{2}-3x+2=0\]
Burada $a=1$, $b=-3$ ve $c=+2$ dir. Buna göre
\[ \Delta=b^{2}-4ac=1\]
Yani $\Delta>0$ dır. Denklemin iki farklı reel kökü vardır, ki zaten biliyoruz.

Bir tane de tam kare yazalım. Yani iki kökümüz olsun ancak ikisi de aynı olsun, örneğin 3 olsun.
\[ (x-3)(x-3) \]
Dağıtırsak $x^x+9$ çıkar ve
\[ \Delta=b^ac=\cdot 9\]
$\Delta=0$ çıkar.

$x^2-(a+1)x-a+2=0$ denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre a'nın alabileceği değerler toplamı nedir?

Çakışık dendiğine göre $\Delta=0$. Denklemde $a=1$, $b=-(a+1)$ ve $c=-a+2$ çıkar. Demek ki
\[\Delta=(-(a+1))^(-a+2)=a^2+6a-7\] $\Delta=0$ olduğuna göre bu ifadeyi $0$'a eşitleyip a'yı çözmeliyiz. \[ a^2+6a-7= (a+7)(a-1)=0 \] Yani $a=-7$ ve $a=1$ ve toplamları da $-6$.
Bir şeye dikkat edelim. Aslında \[ a^2+6a-7=0 \] ifadesini çözmemize gerek yok. Nasılsa bize $a$ değerleri değil toplamları soruluyor. Bu ifade de aslında $a$ ya bağlı bir ikinci derece ifade ve $\frac{-b}{a}$ yı buraya da uygulayabiliriz.
\[ \frac{-b}{a}=\frac{-6}{1}=-6 \] Çarpanlara ayıramayacağız bir ifade çıkarsa bu noktaya dikkat etmeliyiz.

Alıştırmalar

1. $(2m+1)x^{2}-mx-m-1=0$ denkleminin iki kat kökü olmasını gerçekleyen $m$ değerleri toplamı kaçtır?
2. $x^{2}-(4-a)x+a-5=0$ denkleminin birbirine eşit iki reel kökü olduğuna göre, $a$ kaçtır?
3. $mx^{2}-(-m-1)x+1=0$ denklemi için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
(A) Farklı iki reel kökü vardır.
(B) $m=1$ için çakışık iki kök vardır.
(C) $m=1$ için iki reel kök vardır.
(D) $m\neq0$ için iki farklı reel kök vardır.
(E) $m\neq0$ için iki çakışık kök vardır.

4. $(x-m)^2+m-3=0$ denkleminin iki farklı reel kökü olması için $m$'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir?
5. $x^2-x+m=0$ denkleminin reel kökü olmadığına göre $m$'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

$\Delta$ ile ilgili, ifade çarpanlara ayrılıyorsa kullanmayacağımız bir şey daha var. Bir ikinci derece ifadenin köklerini bulmak için şu formülü kullanabiliriz:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \] Birinci kök için aradaki işareti $+$, ikinci kök için $-$ alacağız.

Geçerken kökler ve katsayılar arasındaki bağıntılardan bir tanesini daha çıkarabiliriz.
\[ \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{a} \]
olduğundan kökler farkı: \[

Soru Sor sayfası kullanılarak seafoodplus.infoden Denklemler konusu altında Delta ile kök bulma ile ilgili sitemize gönderilen ve cevaplanan soruları içermektedir. Bu soru tipine ait soruları ve yaptığımız detaylı çözümleri aşağıda inceleyebilirsiniz. Yardımcı olması dileğiyle, iyi çalışmalar&#;

seafoodplus.info

Diğer Soru Tipleri için Tıklayınız.

Konu Anlatımı İçin Tıklayınız.

Çözümlü Test İçin Tıklayınız.

Çıkmış Sorular İçin Tıklayınız.

Not: Bu sayfadaki sorular, ziyaretçilerimiz tarafından gönderilmiştir. Telif hakkını ihlal eden durumlar için lütfen iletişim sayfasından bize bunları bildiriniz. Kısa süre içerisinde sitemizden bu sorular kaldırılacaktır.

Telif: Çözümler, sitemiz tarafından hazırlanmış olup izinsiz yayınlanıp, çoğaltılması yasaktır.

2 5x 3x 2 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.  seafoodplus.info    2 2 2 5x 3x 2 0 b 4ac 3 4 5 2 9 40 49 dur. b x : 2          Çözüm 1 2 3 49 3 7 a 10 3 7 10 x 1 dir. 10 10 3 7 4 2 x tir. 10 10 5 2 Ç.K 1, buluruz. 5                  87
2 3x 2x 9 0 denkleminin köklerini bulunuz.  seafoodplus.info   2 2 1 3x 2x 9 0 denkleminde ilk önce &#;yı bulalım. 2 4 Kökleri bulalı : m x        Çözüm   2 2 2 2 6 6 2 2i 26 1 i 26 tür. 6 3 1 i 26 Diğer kök de x buluruz. 3      

nest...

38248 38249 38250 38251 38252

batman iftar saati 2021 viranşehir kaç kilometre seferberlik ne demek namaz nasıl kılınır ve hangi dualar okunur özel jimer anlamlı bayram mesajı maxoak 50.000 mah powerbank cin tırnağı nedir