Bölme Işleminde Türev

Bu yazıda temel matematik modülünün son projesi olan; bir matematik konusunu sezgisel öğrenmeye dayalı anlatmayı ele almaya gayret göstereceğim. Belirlediğim konu ise fonksiyon, türev ve integral ilişkisi. Yazıya başlamadan önce belirtmek isterim ki yıllardır matematikten uzak kalmış Fransızca Öğretmenliği mezunu biri olarak yazımda konuyu yanlış anlamam sebebiyle yanlış aktardığım yerler bulunabilir. Böyle bir durum varsa geri dönüş almayı, doğrusunu öğrenmeyi ve yazımı iyileştirmeyi çok isterim.

İlk olarak kabaca fonksiyonu açıklayacak olursam; fonksiyon içerisine minimum bir girdi alarak içerisinde önceden tanımlanmış olan işlemleri girdiye uyguladıktan sonra girdi değerine karşılık bir çıktı veren matematik nesneleridir. Bu girdi ve çıktıları koordinat sisteminde bir eksende girdiler diğer eksende çıktılar bulunacak şekilde grafikleştirerek görselleştirmemiz mümkün. Günlük hayatta sıklıkla karşılaştığımız karışık olarak uzun kısa dikdörtgenlerden oluşan grafiklerden bir farkı yoktur bu grafiklerin. Dikdörtgenlerden oluşan grafiklerde dikdörtgenlerin tepe noktası, o barın x ve y eksenindeki değerlerini kolayca görebilmemize olanak sağlamaktadır. Bir fonksiyon grafiğinde de fonksiyon işlemlerinden geçecek olan değer ve çıktı olarak gelecek olan değer eksenlere yerleştirildiğinde, grafikte görünen nokta bize fonksiyondaki girdi ve çıktının ne olduğunu sade bir şekilde görebilmemizi sağlar.

Fonksiyona girecek her bir sayıyı ve çıktı değerini noktalarla işaretlediğimizi düşünelim. Her bir sayı ile söylemek istediğim sabit sayılar değil, sabit sayının virgülünden sonra yüz basamak ilerleyerek fonksiyona sokacağımız sayılar. Bu şekilde iki sabit sayı arasına yüzlerce hatta binlerce nokta bıraktığımızı düşünürsek ve bu her noktadan geçecek bir çizgi çekersek fonksiyon grafiğimize ulaşmış oluruz. Bu çizgi ile fonksiyonun girdilere karşı davranışını daha geniş bir perspektiften gözlemlememiz mümkün.

Bu grafik çizgisi için elimizde 2 ihtimal var. İlki dümdüz bir çizgi. Bunun olabilmesi için fonksiyon içerisinde girdi değerinde üssel bir ifade bulunmaması, girdinin sabit sayıyla toplanması (ya da çıkarılması) gerekmektedir. Örneğin, her girdinin 8 ile toplandığı bir fonksiyon doğrusal bir grafik oluşturacaktır. Her girdi ve çıktı arasındaki fark eşit olarak yükseleceğinden pozitif yönde sürekli doğrusal bir artış beklememiz gayet doğaldır. İkinci ihtimalimiz ise fonksiyon grafiklerinde daha yaygın olan eğik grafikler: Bu grafiklerin oluşması için fonksiyon içerisinde girdinin üssel kuvvetini almamız yeterlidir. İçerisinde bulunan katsayılar ve sabit değerler de fonksiyonu etkileyecektir fakat bir eğik fonksiyon grafiğine eğiklik özelliğini veren üssel ifadelerdir. Girdiler sıfıra yaklaşırken çıktı girdi açıklığı azalacak (düşük değerli girdinin üssel ifadesiyle ortaya çıkan değer girdiden daha az farklı olacağından) ve orada gözle görülür biçimde (daha yatay biçimde konumlanmış) eğiklik oluşacaktır. Fakat girdilerin mutlak değeri arttıkça üssel ifade nedeniyle girdi ve çıktı arasındaki fark fırlayacak ve neredeyse dike yakın sonsuza giden uçlar verecektir.

Peki bir fonksiyon grafiğinde anlık minimum değişim miktarını nasıl öğreniriz? Doğrusal grafik çizgilerinde bu apaçık ortadadır. istediğimiz noktanın x ekseni değerlerini y ekseni değerlerine böldüğümüzde değişim oranını bize verecektir. Bu bilgilerle değişim miktarına ulaşmamız oldukça kolaydır. Ayrıca doğrusal grafiklerde çizgi üzerinde hangi noktayı alırsanız alın oran aynı çıkacaktır. Bölme işlemine giren değerler büyüse de küçülse de doğrusal grafik çizgilerinde her bir noktada fonksiyonun artış ya da azalış oranı (ivmesi) eşittir. Peki doğrusal olmayan grafiklerde bir yerinde hızlıca yükselen, bazen neredeyse sabit gibi hareket eden, bir ucunda düşüşe geçen bir eğik grafikte anlık olarak fonksiyondaki değişimi bulmak istersek ne yapacağız? Bir fonksiyonun bir değer etrafında nasıl devam edeceğini değişim miktarının ne olacağını bulabilmek için bir doğrusallığa ihtiyacımız var. Bu doğrusallıkla miktarın artışta ya da azalışta oluğunu da kolaylıkla görebileceğiz. Eğik grafik çizgilerinde doğrusallığı yaratmak bize düşüyor. Almak istediğimiz noktaya çok yakın bir teğet çizerek ihtiyacımız olan doğrusallığı elde ediyoruz.

Türev alırken klasikleşmiş kurallar vardır. Bu kurallar ise "üssü katsayı olarak yaz üssü bir eksilt", "sabiti sıfır al" gibi nedeni bilinmeyen ezbere cümlelerdir. Peki bu nereden çıkmaktadır? Bunun sebebi boyutlara dayanmaktaymış, öğrendiğimde oldukça şaşırdım. Bu noktada şekillerle sayıları harmanlayacağız.

Tekil noktalar şekillerimizin yapıtaşını oluşturan en küçük birimdir. Tekil nokta boyutsuzdur, en küçüktür ve üzerinde bir değişiklik yapılamaz. Noktalardan çizgileri, çizgilerden iki boyutlu şekilleri, iki boyutlu şekillerden üç boyutlu şekilleri elde ederiz. Bu tekil nokta bizim sabit fonksiyonlarımızdır. İçerisine aldığı girdiyi tek bir sabite eşitleyen fonksiyonların türevi yani mümkün olan en küçük değişikliği sıfırdır. Tekil noktalarda değişiklik mümkün olmadığı gibi her girdiyi aynı çıktı olarak döndüren fonksiyon grafiklerinde de değişiklikten söz edilemez. X eksenine paralel şekilde düz bir grafiğe sahip oluruz.

Şimdi de bu tekil noktaları uç uca bağlayarak tek boyutlu bir şekil elde edelim yani çizgi. Bir çizgiye nokta ekleyebilir ya da içerisinden bir nokta çıkarabiliriz. Ki bu da mümkün olan en küçük değişikliktir. Bu işlem çizgimizin boyutunu uzatacak ya da kısaltacaktır. Fonksiyonun içerisinde bulunan girdi değeri bu çizgiyi temsil etmektedir. Örneğin; f(x) = x fonksiyonunun türevini alırken x'in üzerinde görünmeyen 1 kuvvetini türevi kabul ediyorduk değil mi? O kabul ettiğimiz 1 tekil yapıtaşı olarak kabul ettiğimiz 1'dir. Yani çizgide yapabileceğimiz en küçük değişiklik 1 nokta eklemek ya da çizgiden bir nokta çıkarmak olacaktır. Bu sebeple üssü olmayan girdi değerlerinin türevi 1 kabul edilir.

Üst üste eklediğimiz boyutsuz tekil noktalardan tek boyutlu çizgiyi elde ettik. Çizgimiz burada girdi değeri olan x'imiz. Şimdi de bu çizgileri yan yana koyarak iki boyutlu olan kareyi elde edeceğiz. Bu karede fonksiyonumuz ise f(x)= x^2 olacak. Birçok çizgiyle bir kare elde ettik. Bu kareye uygulayabileceğimiz minimum değişiklik ne olabilir? Tekil noktanın birini çıkarmak/eklemek olamaz çünkü bir tekil nokta eklendiğinde/çıkarıldığında karemizin geometrik özelliği bozulacaktır. Bulunulan boyuttan bir üst boyuta geçerken bulunulan boyutun kendisi üst boyutun yapıtaşı olarak kullanılır. Yani 6. boyutun yapıtaşı 5. boyut, 3. boyutun yapıtaşı 2. boyuttur, bu işlemde de 2. boyut 1. boyuttan oluşacak. Bu sebeple bir karede şeklimizin geometrik yapısını bozmadan yapabileceğimiz en küçük değişiklik iki kenarına birer çizgi ekleme/çıkarma olacaktır. Bu sayede hem kare özelliğini kaybetmeyecek hem de mümkün olan en küçük değişiklik yapılacaktır. Çizgilerin fonksiyon içerisindeki girdi değerleri olduğunu söylemiştik. f(x)=x^2 fonksiyonunda ezbere üssü alıp katsayı olarak yazmamızın sebebi buradadır. Karemizdeki değişimi 2 çizgi ile sağladık yani 2 adet x ile. Burada da türev bize 2x'i verir.

Son olarak ise kübü ele alalım. Bir kübü oluşturmak için de kareleri yapıtaşı olarak alırız. Kareleri üst üste ekleyerek üçüncü boyutumuzu yani derinliği de eklemiş oluruz. Bir küpte yapılabilecek en küçük değişiklik de 3 boyutunu da en az miktarda arttırmak ya da azaltmaktır. f(x)=x^3 fonksiyonunda ezbere türev alırken üssü katsayı olarak yazıp üsten bir eksiltiyorduk değil mi? Kübe yapılacak en küçük değişikliğin her boyutuna birer kare değişiklik olduğunu da biliyoruz. Öyleyse kübümüzün en, boy ve derinliğine birer kare eklediğimizde 3 adet kare eklemiş oluruz değil mi ? Her boyutta artım yapacağız ki şeklimizin geometrik yapısı bozulmasın. Eklediklerimiz de yapıtaşı olarak aldığımız bir önceki boyuttaki şekil yani x^2. Mümkün olan minimum değişikliği yapmak için 3 adet x^2 ekledik. Yani ezberlediğimiz f(x)= x^3 fonksiyonunun f'(x) = 3x^2 aldık. Bu şekilde üsler ne kadar artarsa artsın boyutları hayal edemesek de katsayıyı neden alıp üssü neden azalttığımızı öğrenmiş olduk. Katsayımız boyutumuz, girdimizin üssü eksiltilen kısmı ise o anda yapıtaşı olarak kullandığımız önceki boyutumuz oldu.

Türev bize anlık olarak minimum değişimi verirken integral bize belirlenen iki nokta arasında fonksiyon sebebiyle oluşan toplam değişikliği vermektedir. Bunu ise x ekseni ile fonksiyon çizgisi arasında kalan alanı bularak yapmaktadır. Doğrusal çizgiye sahip bir fonksiyon grafiğinde belirlenen iki nokta arasındaki toplam değişikliği bulmak kolaydır. Sebebi ise belirlenen ara alanın her sınırı doğrusal olacağından oluşan alanın geometrik şekline uygun alan hesaplaması yaparak bulunabilmektedir. Örneğin sabit fonksiyonlarda x eksenine paralel doğrusal bir grafik çizgimiz olacağından belirlediğimiz iki nokta arası kare ya da dikdörtgen olacak ve kenar çarpımı ile belirlenen alanın hesaplamasını birebir yapabileceğiz. Fakat eğri grafik çizgilerinde alanı bulmak oldukça zordur. Sebebi ise doğrusal sınırlara sahip olmayışımızdır. İntegralin alanını bulurken yapmaya çalıştığımız içine sığdırabildiğimiz kadar minik dikdörtgenler sığdırmak olacaktır. Bu minik dikdörtgenlerin alanının toplamı ise belirlediğimiz alana çok yakın sayılar elde etmemize olanak sağlar.

İntegral işlemi bize belirlenen iki nokta arasındaki toplam değişimi veriyor. Bunu da x ekseni ve fonksiyon arasındaki alanı hesaplayarak yapıyor. Türev ve integralin birbirinin ters işlemi olduğu, her açtığım sitede gördüğüm bir kural. Bunun sebebini araştırdığımda nedenine ulaşamadım. Formüllerde ispatını gördüm. Türev fonksiyonun içinde üssü katsayı olarak alıp üssü azaltıyor. İntegral ise tam tersini yapıyor yani üssü arttırıp arttırılmış olan üsse bölüyor. Bu noktada bağlantısı olduğunu düşündüğüm kısmı anlatıp yazımı bitireceğim. Türev alırken üsler boyut sayısıydı ve yapıtaşı olarak bir önceki boyutu ele alıyorduk. Örneğin f(x)= x^3 işleminde üs sayısı olan 3 boyutumuzu bize veriyordu ve bunu katsayı olarak alıyorduk çünkü bu boyut adedi kadar yapıtaşı ekleyerek elimizdeki değeri minimum seviyede büyütebiliyorduk. Yani x^3 yapısında boyutumuz 3, 3 adet yapıtaşı alacağız ve yapıtaşımız bir önceki boyut olan x^2 bu sebeple f'(x) = 3x^2. İntegralde ise üssü 1 arttırıyoruz yani boyutumuzu arttırıyoruz ve boyut sayısına bölüyoruz. Bence burada yapılan içerideki işlemi yapıtaşı olarak almak, bir üstteki boyutta bu yapıtaşını boyut sayısına bölmek böylelikle bir üstteki boyutun türev paketlerini oluşturmak. Türev paketleri dememin sebebi ise şu; boyut sayısı bize yapıtaşını geometrik şekli bozmadan minimum kaç adet ekleyebileceğimizi gösteriyor, ki her kenara eklenen 1 yapıtaşın toplamı da minimum artışımız oluyor. Fakat sayılarla yaptığım fonksiyon denemelerinde, adedini bulduğum üst boyutun türev paketleriyle yani integralle bağlantıyı bir türlü kuramadım. Türev'in böyle bir açıklaması varsa, integral tümleyense ve türevin integrali bize fonksiyonu veriyorsa bunun da boyutlarla bir alakası olması gerektiğini düşünüyorum. Bazı yerlerde alan bulmaya çalışırken yüksekliği limit sayesinde fonksiyonun kendisi olarak alındığını, buradan da üssün bir arttığını gördüm. Fakat boyut perspektifinden bağlantısını kuramadım. Böyle bir bağlantıdan haberdarsanız beni de bilgilendirmenizi çok isterim.

Veri Bilimine Giriş

Temel Matematik

Türev, öğrencilerin oldukça zorlandığı ve AYT Matematik testindeki en önemli konulardan biridir. Bu yazımızda ise bu türev konusunun temelini oluşturan türev alma kuralları hakkında siz değerli öğrencilere bilgi vereceğiz.

Türev Alma Kuralları

Öğrencileri en çok zorlandığı konulardan olan türevin, birçok kuralı bulunmaktadır. Bu kurallar türev alma kuralları ile ilgili soru çözerken kullanılır. Temelde oldukça anlaşılır olan bu kuralları öğrenciler iyi bildiği taktirde türev konusunda ve sonrasında görecekleri integral konusunda oldukça başarılı olmalarını sağlayacaktır.

1. Sabit Fonksiyonun Türevi

Sabit bir fonksiyonun türevi her zaman 0'dır.

Yani f(x)=y olsun. y ϵ R olmak üzere,

f'(x)=0'dır.

Örneğin;

f(x)=41 olsun. Bu durumda sabit fonksiyon olduğu için türevi "0" olacaktır.

f'(x)=0 şeklinde yazılır.

2. Üslü Fonksiyonların Türevi

Üslü bir fonksiyonda türev alınırken terimin kuvveti, terimin başına katsayı olarak gelir ve terimin kuvveti 1 azaltılır. Bu tanımı formüle dökecek olursak;

n ϵ R olmak üzere;

f(x)=aⁿ ise;

f'(x)=n*n.a^n-1 şeklinde çözümlenir.

3. İki Fonksiyonun Toplamının Türevi

[f(x)+ g(x)] şeklinde bir fonksiyonumuz olduğunu düşünelim.

Bu fonksiyonun türevi;

f'(x)+g'(x) şeklinde bulunabilir. İki fonksiyonun farkının türevi alınırken de türevler ayrı ayrı alınıp çıkarma işlemi yapılmalıdır.

4. İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi

En çok karıştırılan türev kurallarından birisi olan çarpımın türevi aslında oldukça kolaydır.

f(x) ve g(x) iki fonksiyonumuz olsun. Bu fonksiyonların çarpımlarının türevi ise;

[f(x)*g(x)]'=[f'(x)*g(x)]+[f(x)*g'(x)] şeklindedir.

5. İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi

Öğrencileri en çok zorlayan kurallardan birisi olan bölme işleminin türevi oldukça kolay olan türev alma kurallarından bir tanesidir.

f(x) ve g(x) iki fonksiyon olmak üzere, bu fonksiyonların bölüm türevi;

[f(x)/g(x)]'=f'(x).g(x)-g'(x).f(x) / [g(x)]2 g(x)≠0 şeklinde yazılmaktadır.

seafoodplus.info Değer Fonksiyonunun Türevi

f:A R,y = f(x) verilsin. a ∈ A, f(a) ≠ 0 olmak üzere,

y=f(x)={-f(x),f(a)<0 ise f(x), f(a)>0 ise

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunun için foksiyonun soldan ve sağdan türevlerine bakılır.

7. İşaret Fonksiyonunun Türevi

8. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

Türev Alma İle İlgili Örnek Soru Çözümü

Türev alma ile ilgili hazırladığımız temel düzey örnek sorular ile anlattığımız konuları kolaylıkla pekiştirebilirsiniz. 

seafoodplus.info

seafoodplus.info

3. Soru

Öğretmen Tercihim ile matematik konusunda kendinizi geliştirmek isterseniz veya konu eksiklerinizi kapatmak istersiniz 36,'den fazla öğretmen arasından sana uygun olanı seçerek özel ders gerçekleştirebilirsiniz.