Ikinci Dereceden Fonksiyon Tersi

Yazan : Şadi Evren ŞEKER

Bir fonksiyonu(function) iki küme arasında tanımlı bir ilişkiye benzetebiliriz. Buna göre herhangi bir fonksiyon aşağıdaki şekilde bir sahadan (etki alanı, domain) bir menzile (range) tanımlı bir ilişki olarak gösterilebilir.

Yukarıdaki gösterimde bir fonksiyon [1,3] sahasından [a,c] menziline tanımlıdır.

Bir fonksiyonun Tersi

Bir fonksiyonun tersi, o fonksiyonun tanımlı olduğu menzilden sahaya doğru tersten bir ilişki kurulması anlamındadır. Örneğin yukarıdaki şekilde temsil edilen fonksiyonun tersi aşağıdaki şekilde olur:

Örneğin fonksiyonun ilk halinde f(1) = a şeklinde tanımlanmışken ikinci halinde f(a) = 1 şeklinde tanımlanmış olur. Matematiksel olarak fonksiyonun üzerinde -1 işareti ile gösterilir. Örneğin f(x) fonksiyonun tersi f^-1(x) olarak gösterilir.

Fonksiyonların Terkibi (Bileşkesi)

İki fonksiyonun kendi sahalarında değişiklik yaparak menzillerinde oluşturduğu sonuçların birleştirilmesidir.

Örneğin yukarıda tanımlı olan fonksiyona ilave olarak aşağıdaki şekilde gösterilen ikinci bir fonksiyonu ele alalım:

Bu durumda yukarıda verilen iki fonksiyonun bileşkesi aşağıdaki şekilde olur:

Bu iki fonksiyonun bileşkesi yine bir fonksiyondur ve ilk fonksiyon’un sahasından ikinci fonksiyonun menziline tanımlıdır. Matematiksel olarak ilk fonksiyona f, ikinci fonksiyona g ismi verilirse, yukarıdaki bileşke işlemi (f o g) olarak gösterilir. Bu aradaki küçük o harfi İngilizcedeki of kelimesinden gelmektedir. (f of g , g fonksiyonun f’i şeklinde okunur)

Yukarıdaki küme gösteriminde bu yeni terkip fonksiyon aşağıdaki şekilde çizilebilir:

Bir fonksiyonun tersi, ile özünün bileşkesi (terkibi) ise birim değer (identity) çıkarır.

f(x) o f^-1(x) = I

Fonksiyonların Tersi (Inverse)

Bir fonksiyonun tersinin alınması, tersi ile fonksiyonun bileşkesinin birim değer (identity) çıkarması demektir.

Aşağıda bazı fonksiyon örneklerinin nasıl tersi alındığı gösterilmiştir.

f(x) = 2x + 1

f^-1(x) = (x-1)/2

iki fonksiyonun bileşkesi (terkibi) alındığında aşağıdaki sonuç çıkar:

2 (x-1)/2 +1 =1

Ve görüldüğü üzere birim değer (indentity) elde edilmiş olur.

Burada bir fonksiyonun tersi alınırken temel işlemlerden yararlanılır. Bu işlemlerden bazılarını aşağıdaki şekilde sıralayabiliriz:

ax -> x/a

x/a-> ax

x+a -> x-a

x-a -> x+a

a^x ->log _ax

x^a -> ^a√ x

sin(x) -> arcsin(x)

arctan(x) -> tan(x)

ters alma işlemi bu işlemlerin birleştirilmesinden oluşmaktadır.

Tersi Alınamayan Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun tersinin alınabilmesi için, fonksiyonun tersinin birebir (one-to-one) özelliği taşıması gerekir.

Örneğin aşağıdaki fonksiyonun tersi yoktur:

Yukarıdaki bu fonksiyonun tersinin olmamasının sebebi, fonksiyonun tersindeki y değerinin hangi değer ile karşılanacağının bilinememesidir. Yani yukarıdaki fonksiyonun tersi olsaydı aşağıdaki şekilde olabilirdi:

Ancak yukarıdaki fonksiyon ne yazık ki yazılamaz çünkü bu fonksiyonda y değeri için 2 mi 3 mü sonucu çıkacağı belirsizdir.

Dolayısıyla çoktan bire fonksiyonların (many-to-one) tersi yoktur.

Örneğin kalan fonksiyonunun (modulo , remainder) tersi yoktur.

F(A) = A mod B

Şeklinde tanımlanan bir fonksiyonun tersi, mod işleminin tanımlı olduğu pozitif tam sayılar kümesinde (Z+) alınamaz. Ancak fonksiyonun tanımlı olduğu menzil (range) daraltılarak tersi alınabilir hale getirilebilir.

Bu durumda fonksiyonun [0,B) -> [0,B) aralığında tanımlanması gerekir ki, bu tanımda da mod işleminin anlamı kalmaz.

Çok Terimlilerin (Polynoms) Tersi

Bir çok terimlinin (polynom) tersi alınamaz. Yukarıda da açıklandığı üzere bir fonksiyonun tersinin olması için fonksiyonun birebir (one-to-one) olması gerekir. Çoktan bire (many-to-one) fonksiyonların tersi olmaz. Polinomlarda ise 2. Derece üzerindeki bütün polinom yapıları için çoktan bire ilişki bulunur.

Bunun tek istisnası yine polinom olarak kabul edilebilecek tek terimliler veya 1. Dereceden polinomlardır.

Örneğin aşağıdaki polinom yapısını ele alalım:

ax²+bx+c

Bu yapının tersi, içerisinde bir çift fonksiyon bulunmasından dolayı alınamaz. Burada bulunan kare fonksiyonu, çift fonksiyondur, yani -1 ve +1 için aynı sonuçları üretir. Bu durumda fonksiyon iki farklı değer için aynı sonucu üretebilecektir. Örneğin

x²+x

Polinomunda x = 0 için sonuç 0 çıkarken x = -1 için de aynı sonuç olan 0 çıkacaktır ve çoktan teke ilişki olduğu için tersinin alınamayacağı görülecektir.

x³-x

Şeklinde bir çok terimlide ise durum yine aynıdır. Evet yukarıdaki fonksiyonda bir çift fonksiyon yoktur ama çoktan teke bir ilişki olduğu gösterilebilir.

Örneğin x = 1 ve x = 0 için sonuç 0 olarak bulunacaktır.

Birinci dereceden polinomlar ki bunlar doğrusal (linear) bağlantılardır ve aslında tam olarak çok terimli tanımına uymamaktadır. Tersi alınabilir fonksiyonlardır.

Örneğin

2x +1-> (x -1) / 2

Olarak tersi alınabilir.

Bir çok terimlinin tersinin alınabilmesi, yani 1. Dereceden büyük bir polinomun tersinin alınabilmesi ise, bu polinomun, 1. Dereceden denklemlerin katı şeklinde yazılabilmesine bağlıdır.

Örneğin yukarıdaki denklemden yola çıkarak

( 2x +1 ) (2x +1)

Polinomunun tersi alınabilir.

Gerçekten de (x-1) / 2 denklemi bu polinomun tersidir. Bileşkesini alacak olursak:

( 2( x-1)/2 +1) ( 2( x-1)/2 +1) = 1 * 1 = 1

Olarak bulunur.

Kısacası bir polinomun tersi sadece ve sadece 1. Dereceden bir denklemin bir üstü şeklinde yazıldığı durumlarda bulunabilir.

Bu özel durumun sebebi verilen bu polinomun çift kökünün olması ve tersi alındığı durumlarda yine bire-bir ilişki bulunuyor olmasıdır. Bir polinomun birden çok kökü olması durumunda daha önceden anlatıldığı üzere tersi alınamaz.