Parantez Üslü Sayılar
İşlem &#;nceliği Nedir? Hangi Matematik İşlemi &#;nce Yapılmalıdır?
İşlem Önceliği Nedir?
Aritmetik işlemlerin belirli bir kural ve sıraya göre uygulanmasına işlem sırası ya da işlem önceliği denmektedir.
Örneğin hesaplamalar ilk olarak soruda parantez varsa iç parantezden başlanarak yapılır. Sonrasında ise dışa doğru olacak şekilde çözüm gerçekleşir.
Parantezin olmadığı durumlarda da soldan sağa doğru bir işlem sırası dikkate alınacaktır.
Hangi Matematik İşlemi Önce Yapılmalıdır?
Bu konuda öncelikle işlem sırasına tabi tutulacak matematik işlemlerinin isimlerini bilmek gerekir.
Aynı önceliğe sahip işlemlerde sıra soldan sağa doğru yapılır. İşlem sırasında ayraca yani paranteze önem verilir. Bu durumda ilk olarak bölme ve çarpma işlemi yapılacaktır. Sonraki sırayı ise çıkartma ve toplama oluşturmaktadır.
Bilindiği gibi matematik işlemleri dört işlemden meydana gelmektedir. Bunlar toplama, çıkartma, bölme ve çarpmadır. Bu durumda çarpma ve bölme önce yapılan matematik işlemleridir. Bunu takiben toplama ve çıkartma gelmektedir.
Standart Olan İşlem Önceliği Hangileridir?
Matematik biliminde işlem önceliği yani işlem sırası denilen konu liste şeklinde bir sırayla öğrencilere verilmektedir. İşte standart kabul edilen işlem önceliği sırası şöyle sıralanmaktadır:
İlk olarak parantez işlemleri yapılır.
Eğer soruda üslü ya da köklü bir sayı varsa ikinci adımı bu işlemlerin çözülmesi oluşturmaktadır.
Sonrasında matematik işlemlerinden olan çarpma ve bölme yapılmalıdır.
Dördüncü sırada toplama ve çıkartma işleminin yapılması gelmektedir.
Son olarak da güdülmesi gereken çoklu işlemlerde işlem sürecinin soldan sağa doğru ilerlemesi olacaktır.
İşlem Önceliği Örnek Sorular ve Çözümleri
İşlem önceliği sırasını yukarıdaki başlıkta maddeler şeklinde belirttik. Bu maddelerde ilk sırayı parantez işlemleri almaktadır. İşte parantez işlemine örnek soru ve çözümü;
1. Örnek; 4 + ( 1 X 8 + 5 ) nedir?
Çözüm; Söylenildiği gibi işlem sırasına göre ilk olarak soruda parantez içi yapılır. Görüldüğü gibi sorudaki parantez içi 1 X 8 + 5 dir. Burada hem çarpma hem de toplama işlemi vardır. O halde ilk olarak parantez içi yapılırken yukarıda söylediğimiz gibi çarpma işlemine öncelik verilir. Sonrasında toplama yapılır. Bu durumda 1 X 8 işleminin sonucu 8 dir. O halde işlem artık şu duruma dönüşmüştür; 4 + ( 8 + 5 ) dir. Yine parantez içine devam edilir. 8 +5 sonucu 13 dür. Geriye 4 + 13 kalmıştır. Bu toplama işleminin sonucu yani sorunun cevabı da 17 dir.
İşlem sırasında yer alan köklü ya da üslü sayı örneği de şöyle ilerlemektedir.
2. Örnek; ( 1 + 2 ) üssü 2 kaçtır?
Çözüm; İlk olarak parantez içi yapılır. Parantez içinde görüldüğü gibi çarpmak ya da bölme yoktur. O halde direk olarak parantez içinde yer alan toplama işlemi gerçekleştirilir. ( 1 +2 ) sonucu 3 dür. İşlem artık 3 üssü 2 olmuştur. Sorunun cevabı üssü işleminin yapılmasıyla 3 X 3 yani 3 rakamının iki kere yan yana çarpılmasıdır. Sonuç ise 9 dur.
İşlem sırasında yer alan çarpma ve bölme önceliğine de örnek verelim.
3. Örnek; 2 + ( 4 X 3 : 2 ) kaçtır?
Çözüm; Görüldüğü gibi soruda hem parantez hem çarpma hem de bölme işlemi vardır. İlk olarak parantez içi yapılır. Parantez içinde çarpma ve bölme işlemi vardır. Aynı anda bulunan çarpma ve bölme işleminde soldan sağa doğru bir sıra gözetilir. Bu yüzden sol tarafta yer alan 4 X 3 işlemi yapılır. Bu işlemin sonucu 12 dir. Sağda yer alan 2 ve bölme işlemidir. İşlem artık parantez içinde 12 : 2 olmuştur. Bu işlemin sonucu da 6 dır. İşlem bu şekliyle 2 + 6 haline gelmiştir. Sorunun cevabı 8 dir.
İşlem sırasında yer alan toplama ve çıkartma önceliğine de örnek verelim.
4. Örnek; 5 + 5 X 3 nedir?
Çözüm; Soruda görüldüğü gibi parantez yoktur. Fakat çarpma ve toplama işlemi vardır. O halde öncelik toplamadan önce çarpma işleminde olacaktır. Sonrasında çıkan sonuç ile toplama işlemi yapılacaktır. Çarpma soruda 5 X 3 işlemini kapsamaktadır. Bu işlemin cevabı 15 dir. Soruda yer alan 5 + 15 şeklinde çözmeye devam edelim. Sorunun cevabı 20 dir.
Üslü İfade İşlem Kuralları
SORU 1:
\( 4^{49} \) sayısının yarısı kaçtır?
Çözümü GösterYarısını bulmak için sayıyı 2'ye bölelim.
\( \dfrac{4^{49}}{2} = \dfrac{(2^2)^{49}}{2} = \dfrac{2^{98}}{2} \)
\( = 2^{98 - 1} = 2^{97} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
Aşağıdaki üslü ifadelerin rasyonel sayı karşılıklarını bulalım.
\( (-2)^{-2}, (0,)^{-2}, (-3)^{-2}, (-2^{-2})^{-1} \)
Çözümü GösterHer bir ifadeyi aşağıdaki şekilde sadeleştirebiliriz.
\( (-2)^{-2} \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
\( (-2)^{-2} = 2^{-2} \)
İfadeyi paydaya alarak negatif üssü pozitife çevirebiliriz.
\( 2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4} \)
\( (0,)^{-2} \): İlk önce parantez içini kesirli bir ifadeye çevirelim.
\( (0,)^{-2} = \left( \dfrac{1}{8} \right)^{-2} \)
Paydadaki ifadeyi paya alarak negatif üssü pozitife çevirebiliriz.
\( \left( \dfrac{1}{8} \right)^{-2} = 8^2 = 64 \)
\( (-3)^{-2} \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
\( (-3)^{-2} = 3^{-2} \)
İfadeyi paydaya alarak negatif üssü pozitife çevirebiliriz.
\( 3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \)
\( (-2^{-2})^{-1} \): Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır. Parantez içindeki negatif işaretinin parantez dışında tek sayı bir üssü alındığı için işaret negatif olarak kalır.
\( (-2^{-2})^{-1} = -2^2 = -4 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( \dfrac{2^{} + 2^{}}{2^{} - 2^{}} \) işleminin sonucunu bulalım.
Çözümü GösterPay ve paydadaki tüm terimleri en büyük ortak çarpanları cinsinden yazarak sadeleştirme yapalım.
\( \dfrac{2^4 \cdot 2^{} + 2^1 \cdot 2^{}}{2^2 \cdot 2^{} - 2^{}} \)
\( = \dfrac{16 \cdot 2^{} + 2 \cdot 2^{}}{4 \cdot 2^{} - 2^{}} \)
\( = \dfrac{18 \cdot 2^{}}{3 \cdot 2^{}} \)
\( = \dfrac{18}{3} = 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( \dfrac{(-a^{5}) (-a)^{4} (-a)^{-2}}{(a^{-2})^{-1} (-a^{3})^{-2}} \) çarpımının sadeleştirilmiş halini bulalım.
Çözümü Gösterİşlemin sonucuna \( A \) diyelim ve ifadedeki her bir çarpanı ayrı ayrı sadeleştirelim.
\( (-a^5) = -a^5 \): Üs sadece \( a \)'ya uygulanır.
\( (-a)^4 = a^4 \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
\( (-a)^{-2} = a^{-2} \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
\( (a^{-2})^{-1} = a^2 \): Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır.
\( (-a^3)^{-2} = a^{-6} \): Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır. Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
İfadeyi her bir çarpanın sadeleştirilmiş haliyle aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( A = \dfrac{-a^5 \cdot a^4 \cdot a^{-2}}{a^2 \cdot a^{-6}} \)
Pay ve paydada sadece bir çarpanın işareti negatif olduğu için, negatif işaretini tutarak rasyonel ifadenin önüne alabiliriz.
\( A = -\dfrac{a^5 \cdot a^4 \cdot a^{-2}}{a^2 \cdot a^{-6}} \)
Pay ve paydadaki çarpanların tabanları aynı olduğu için üslerin toplamını alabiliriz.
\( A = -\dfrac{a^{5 + 4 - 2}}{a^{2 - 6}} = -\dfrac{a^{7}}{a^{-4}} \)
Pay ve paydadaki tabanlar aynı olduğu için paydadaki üssü paya negatif olarak çıkarabiliriz. Bunun sonucunda ifadenin en sade halini aşağıdaki gibi buluruz.
\( A = -a^{7 - (-4)} = -a^{11} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( \dfrac{(3^{-3})^2 (-3^3)^{-2}}{(-3^{-2}) (-3^{-2})^{-3}} \) çarpımının sadeleştirilmiş halini bulalım.
Çözümü Gösterİşlemin sonucuna \( A \) diyelim ve ifadedeki her bir çarpanı ayrı ayrı sadeleştirelim.
\( (3^{-3})^2 = 3^{-6} \): Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır.
\( (-3^3)^{-2} = 3^{-6} \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir. Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır.
\( (-3^{-2}) = -3^{-2} \): Üs parantez dışında olmadığı için negatif işareti hariç sadece 3'e uygulanır.
\( (-3^{-2})^{-3} = -3^6 \): Parantez içindeki negatif işaretinin parantez dışında tek sayı bir üssü alındığı için işaret negatif olarak kalır. Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır.
İfadeyi her bir çarpanın sadeleştirilmiş haliyle aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( A = \dfrac{3^{-6} \cdot 3^{-6}}{-3^{-2} \cdot -3^6} \)
Pay ve paydada iki çarpanın işareti negatif olduğu için birbirlerini götürürler ve tüm ifadenin işareti pozitife döner.
\( A = \dfrac{3^{-6} \cdot 3^{-6}}{3^{-2} \cdot 3^6} \)
Pay ve paydadaki çarpanların tabanları aynı olduğu için üslerin toplamını alabiliriz.
\( A = \dfrac{3^{-6 - 6}}{3^{-2 + 6}} = \dfrac{3^{}}{3^4} \)
Pay ve paydadaki tabanlar aynı olduğu için paydadaki üssü paya negatif olarak çıkarabiliriz. Bunun sonucunda ifadenin en sade halini aşağıdaki gibi buluruz.
\( A = 3^{ - 4} = 3^{} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( 5^{-1} \cdot ((-1)^2)^3 \cdot 2^{-2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBir üslü ifadede çift sayı üs tabandaki negatif işaretini yutar.
Paydaki negatif üslü ifadeler paydaya, paydadaki negatif üslü ifadeler paya pozitif üslü olarak geçer.
Adım adım işlemleri gerçekleştirelim.
\( \dfrac{1}{5} \cdot (1)^3 \cdot \dfrac{1}{2^2} \)
\( = \dfrac{1}{5} \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{4} \)
\( = \dfrac{1}{20} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( (-\dfrac{2^2}{3})^{-2} + 0^{3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterAdım adım işlemleri gerçekleştirelim.
\( (-\dfrac{4}{3})^{-2} + 0 \)
Tabanı kesirli olan üslü bir ifadede pay ve payda aralarında yer değiştirirse üs işaret değiştirir.
\( (\dfrac{a}{b})^{-1} = \dfrac{b}{a} \)
Bir üslü ifadede çift sayı üs tabandaki negatif işaretini yutar.
\( = (-\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{9}{16} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( (\dfrac{3^{2^2}}{3^{-1}} + 13)^{\frac{1}{2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBir ifadenin üssü yine bir üslü ifade ise işlem yukarıdan aşağıya doğru yapılır.
\( (\dfrac{3^4}{3^{-1}} + 13)^{\frac{1}{2}} = (3^5 + 13)^{\frac{1}{2}} \)
\( = ^{\frac{1}{2}} = \sqrt{} = 16 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( 5^{a + 2} = \) olduğuna göre, \( 5^{a - 1} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterÖncelikle \( 5^a \) ifadesinin değerini bulalım.
\( 5^{a} \cdot 5^2 = \)
\( 5^{a} = 10 \)
Değeri sorulan ifadede \( 5^a \) yerine 10 yazalım.
\( 5^{a - 1} = 5^{a} \cdot 5^{-1} \)
\( = 10 \cdot \dfrac{1}{5} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 3a + \dfrac{1}{3a} = 12 \) olduğuna göre, \( \dfrac{81a^4 + 1}{9a^2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{81a^4}{9a^2} + \dfrac{1}{9a^2} = 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} \)
\( 3a + \dfrac{1}{3a} = 12 \) ifadesinin karesini alalım.
\( 9a^2 + 2 \cdot 3a \cdot \dfrac{1}{3a} + \dfrac{1}{9a^2} = \)
\( 9a^2 + 2 + \dfrac{1}{9a^2} = \)
\( 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x + \dfrac{1}{x} + 1 = 0 \) olduğuna göre,
\( x^{22} + \dfrac{1}{x^{43}} + 10 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x + \dfrac{1}{x} + 1 = 0 \) eşitliğinin her iki tarafını \( x \) ile çarpalım.
\( x^2 + 1 + x = 0 \)
Bu eşitliğin her iki tarafını \( (x - 1) \) ile çarpalım.
\( x \ne 1 \) olmak üzere,
\( (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 \)
\( x^3 - 1 = 0 \)
\( x^3 = 1 \)
Sorudaki ifadeyi düzenleyelim.
\( x^{22} + \dfrac{1}{x^{43} + 10} \)
\( = (x^3)^7 \cdot x + \dfrac{1}{(x^3)^{14} \cdot x} + 10 \)
\( = 1^7 \cdot x + \dfrac{1}{1^{14} \cdot x} + 10 \)
\( = x + \dfrac{1}{x} + 10 \)
\( x + \dfrac{1}{x} + 1 = 0 \Longrightarrow x + \dfrac{1}{x} = -1 \) değerini yerine koyalım.
\( = -1 + 10 = 9 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 5y - 3x = 4 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{8^x}{32^y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterSorudaki ifadenin payını ve paydasını 2 tabanına çevirelim.
\( \dfrac{8^x}{32^y} = \dfrac{(2^3)^x}{(2^5)^y} = \dfrac{2^{3x}}{2^{5y}} \)
\( = 2^{3x - 5y} = 2^{-(5y - 3x)} \)
Üste parantez içindeki ifadenin değeri 4 olarak verilmiştir.
\( = 2^{-4} = \dfrac{1}{16} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{-2^{18} - 2^{19} - 2^{20}}{2^{14} - 2^{18} + 2^{17}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterPayı \( 2^{18} \) parantezine, paydayı \(2^{14} \) parantezine alalım.
\( \dfrac{2^{18} \cdot (-1 - 2^1 - 2^2)}{2^{14} \cdot (1 - 2^4 + 2^3)} \)
\( = \dfrac{2^{18} \cdot (-7)}{2^{14} \cdot (-7)} \)
\( = 2^{18 - 14} = 2^4 = 16 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{(-x^2)^5 \cdot (-x^5)^2 \cdot (-x^{-2})^5}{(-x^2)^4 \cdot (-x^5)^{-3}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterBir üslü ifadede çift sayı üs tabandaki negatif işaretini yutar.
\( \dfrac{-x^{10} \cdot x^{10} \cdot (-x^{})}{x^8 \cdot (-x^{})} \)
Negatif işaretlerini parantezden çıkarırsak tüm ifadenin işareti negatif olur.
\( = -\dfrac{x^{10} \cdot x^{10} \cdot x^{}}{x^8 \cdot x^{}} \)
\( = -\dfrac{x^{10 + 10 - 10}}{x^{8 - 15}} = -\dfrac{x^{10}}{x^{-7}} \)
\( = -x^{(-7)} = -x^{17} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{3^{n + 2} + 3^{n + 1} - 3^n}{3^n - 3^{n - 1}} \) ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözümü GösterPayı \( 3^n \), paydayı \( 3^{n - 1} \) parantezine alalım.
\( \dfrac{3^n \cdot (3^2 + 3 - 1)}{3^{n - 1} \cdot (3 - 1)} \)
\( = \dfrac{3^n \cdot 11}{3^{n - 1} \cdot 2} \)
\( = \dfrac{3^{n - (n - 1)} \cdot 11}{2} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 11}{2} = \dfrac{33}{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( a = 5^{-3}, \quad b = 10^{-4}, \quad c = (-2)^{-3} \)
olduğuna göre, \( \dfrac{a \cdot c}{b} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterSayıları yerlerine yazalım.
\( \dfrac{5^{-3} \cdot (-2)^{-3}}{10^{-4}} \)
Paydaki negatif üslü ifadeler paydaya, paydadaki negatif üslü ifadeler paya pozitif üslü olarak geçer.
\( = \dfrac{10^4}{5^3 \cdot (-2)^3} \)
\( = \dfrac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)} \)
\( = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( a \) ve \( b \) sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
\( 2^a = 7^b \) olduğuna göre, \( 32^{\frac{2a}{5b}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 32^{\frac{2a}{5b}} = (2^5)^{\frac{2a}{5b}} \)
\( = 2^{5 \cdot \frac{2a}{5b}} = 2^{\frac{2a}{b}} \)
\( = (2^a)^{\frac{2}{b}} \)
\( 2^a \) yerine \( 7^b \) yazalım.
\( = (7^b)^{\frac{2}{b}} = 7^{b \cdot \frac{2}{b}} \)
\( = 7^2 = 49 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 3^{a + 1} = 6^a, \quad 3^b = 4 \)
olduğuna göre, \( (2^{b + 1})^a \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 6^a = 3^a \cdot 2^a \) yazalım.
\( 3^a \cdot 3 = 3^a \cdot 2^a \)
\( 2^a = 3 \)
\( (2^{b + 1})^a \) ifadesinde üslerin yerlerini değiştirelim.
\( (2^{b + 1})^a = (2^a)^{b + 1} \)
\( = 3^{b + 1} = 3^b \cdot 3 \)
\( = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{2^a + 1}{3} = x \) olduğuna göre, \( 2^a \cdot (2^{-a} + 1) \) ifadesinin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster\( 2^a \) değerini \( x \) cinsinden yazalım.
\( 2^a + 1 = 3x \Longrightarrow 2^a = 3x - 1 \)
Değeri sorulan ifadede \( 2^a \)'yı parantez içine dağıtalım.
\( 2^a \cdot 2^{-a} + 2^a = 2^0 + 2^{a} \)
\( = 1 + 3x - 1 = 3x \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 14^{a + 2} = 2^{a - 1} \) olduğuna göre, \( 7^a \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 14 \) tabanını \( 2 \cdot 7 \) olarak ayıralım.
\( 2^{a + 2} \cdot 7^{a + 2} = 2^{a - 1} \)
\( 2^{a} \cdot 2^2 \cdot 7^a \cdot 7^2 = 2^{a} \cdot 2^{-1} \)
\( 2^{a} \) çarpanları sadeleşir.
\( 2^2 \cdot 7^a \cdot 7^2 = \dfrac{1}{2} \)
\( 7^a = \dfrac{1}{8 \cdot 49} = \dfrac{1}{} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
Anıl yerde duran topu havaya atıyor. Top \( 2^{10} \) cm yükseldikten sonra yere düşüyor ve yere her çarpışından sonra önceki yüksekliğinin \( \frac{1}{4} \) katı kadar yükseliyor.
Buna göre top yere kaçıncı çarpışında toplam \( 21 \cdot 2^7 \) cm mesafe katetmiştir?
Çözümü GösterTopun yükselirken ve düşerken aldığı mesafeler aynıdır.
İlk yükseklik \( 2^{10} \), ikinci yükseklik \( \frac{2^{10}}{4} = 2^8 \), üçüncü yükseklik \( \frac{2^{8}}{4} = 2^6 \) olur ve 4'e bölünerek devam eder.
Topun yere 1. çarpışında toplam mesafe:
\( 2^{10} + 2^{10} = 2^{11} \)
Topun yere 2. çarpışında toplam mesafe:
\( 2^{11} + 2^8 + 2^8 = 2^8 \cdot (8 + 1 + 1) \)
\( = 10 \cdot 2^8 = 5 \cdot 2^9 \)
Topun yere 3. çarpışında toplam mesafe:
\( 5 \cdot 2^9 + 2^6 + 2^6 = 2^6 \cdot (40 + 1 + 1) \)
\( = 42 \cdot 2^6 = 21 \cdot 2^7 \)
Buna göre top yere 3. çarpışında toplam \( 2^7 \cdot 21 \) cm mesafe katetmiştir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 3^{a} = 5^b \) olduğuna göre, \( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} \) toplamının değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} = 3^{\frac{a}{b} + \frac{b}{b}} + 5^{\frac{a}{a} + \frac{b}{a}} \)
\( = 3^{\frac{a}{b} + 1} + 5^{1 + \frac{b}{a}} \)
\( = 3^{\frac{a}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot 5^{\frac{b}{a}} \)
\( = (3^a)^{\frac{1}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot (5^b)^{\frac{1}{a}} \)
\( 3^{a} = 5^b \) eşitliğini kullanalım.
\( = (5^b)^{\frac{1}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot (3^a)^{\frac{1}{a}} \)
\( = 5^{\frac{b}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot 3^{\frac{a}{a}} \)
\( = 5 \cdot 3 + 5 \cdot 3 = 30 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 9^x \cdot 8^y = ^y \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x - y}{x + y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 9^x = \dfrac{^y}{8^y} = (\dfrac{}{8})^y \)
\( 9^x = 81^y \)
\( 3^{2x} = 3^{4y} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( 2x = 4y \Longrightarrow x = 2y \)
Verilen ifadede \( x = 2y \) yazalım.
\( \dfrac{x - y}{x + y} = \dfrac{2y - y}{2y + y} \)
\( = \dfrac{y}{3y}= \dfrac{1}{3} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 5^a = 7^b, \quad x = \dfrac{a^2 + ab}{ab} \)
olduğuna göre, \( 5^x \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x = \dfrac{a^2}{ab} + \dfrac{ab}{ab} \)
\( = \dfrac{a}{b} + 1 \)
\( \dfrac{a}{b} = x - 1 \)
Birinci eşitliğin iki tarafının \( \frac{1}{b} \). kuvvetini alalım.
\( (5^a)^{\frac{1}{b}} = (7^b)^{\frac{1}{b}} \)
\( 5^{\frac{a}{b}} = 7 \)
\( 5^{x - 1} = 7 \)
\( \dfrac{5^x}{5} = 7 \)
\( 5^x = 35 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 3a + 2b = 22 \)
\( (0,)^a = (0,2)^b \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterOndalık gösterimdeki sayıları kesre çevirelim.
\( 0, = \dfrac{16}{} = \dfrac{1}{} = 5^{-4} \)
\( 0,2 = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} = 5^{-1} \)
\( 5^{-4a} = 5^{-b} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( -4a = -b \Longrightarrow 4a = b \)
Soruda verilen birinci eşitlikte \( b = 4a \) yazalım.
\( 3a + 2b = 3a + 8a = 22 \)
\( a = 2 \)
\( b = 4a = 8 \)
Buna göre \( a + b = 2 + 8 = 10 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x = 3^a - 4 \)
\( y = 9^a - 15 \)
olduğuna göre \( y \)'nin \( x \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 3^a \)'yı birinci ifadede yalnız bırakalım.
\( 3^a = x + 4 \)
\( 3^a \)'yı ikinci ifadede yerine yazalım.
\( y = 9^a - 15 = 3^{2a} - 15 \)
\( = (x + 4)^2 - 15 \)
\( = x^2 + 8x + 16 - 15 \)
\( = x^2 + 8x + 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( X = 32^{0,4} + 81^{0,25} \)
\( Y = 49^{0,5} - 25^0 \)
olduğuna göre, \( X \cdot Y \) kaçtır?
Çözümü Göster\( X = (2^5)^{0,4} + (3^4)^{0,25} \)
\( = 2^{5 \cdot 0,4} + 3^{4 \cdot 0,25} \)
\( = 2^2 + 3^1 = 7 \)
\( Y = (7^2)^{0,5} - 25^0 \)
\( = 7^{2 \cdot 0,5} - 1 \)
\( = 7^1 - 1 = 6 \)
\( X \cdot Y = 7 \cdot 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 4^x + 2 = a \)
\( 2^{x + 1} - 3 = b \)
olduğuna göre, \( a \)'nın \( b \) cinsinden eşiti kaçtır?
Çözümü Göster\( 2^x \)'i ikinci ifadede yalnız bırakalım.
\( 2^x \cdot 2 - 3 = b \)
\( 2^x = \dfrac{b + 3}{2} \)
\( 2^x \)'i birinci ifadede yerine yazalım.
\( 4^x + 2 = (2^2)^x + 2 = a \)
\( (2^x)^2 + 2 = a \)
\( (\dfrac{b + 3}{2})^2 + 2 = a \)
\( a = \dfrac{b^2 + 6b + 9}{4} + 2 \)
\( = \dfrac{b^2 + 6b + 17}{4} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
yılının başında bahçesine \( 4^4 \) cm boyunda bir ağaç diken Ayla yılının sonunda ağacın boyunu \( 16^3 \) cm olarak ölçüyor.
Buna göre, ağacın yılları arasındaki yıllık ortalama uzama miktarı kaçtır?
Çözümü Gösteryılı başındaki boy: \( 4^4 = 2^8 \)
yılı sonundaki boy: \( 16^3 = 2^{12} \)
yılının başından yılının sonuna kadar 15 tam yıl süre geçmiştir.
Yıllık ortalama uzama miktarını bulmak için boydaki toplam değişimi yıl sayısına bölelim.
\( \dfrac{2^{12} - 2^8}{15} \)
\( = \dfrac{2^8 \cdot (2^4 - 1)}{15} \)
\( = 2^8 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{1}{3 \cdot 17^{x - y} + 1} + \dfrac{3}{17^{y - x} + 3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( 17^{x - y} = a \) diyelim.
\( 17^{y - x} = 17^{-(x - y)} = \dfrac{1}{a} \) olur.
\( \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1}{a} + 3} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1 + 3a}{a}} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3a}{1 + 3a} \)
\( = \dfrac{1 + 3a}{3a + 1} = 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 49^a = 36^b = 42 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{4ab}{a + b} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 49^a = 42 \)
\( 7^{2a} = 7 \cdot 6 \)
\( \dfrac{7^{2a}}{7} = 7^{2a - 1} = 6 \)
\( 36^b = 42 \)
\( 6^{2b} = 7 \cdot 6 \)
\( \dfrac{6^{2b}}{6} = 6^{2b - 1} = 7 \)
6 yerine \( 7^{2a - 1} \) yazalım.
\( (7^{2a - 1})^{2b - 1} = 7 \)
\( 7^{(2a - 1)(2b - 1)} = 7^1 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( (2a - 1)(2b - 1) = 1 \)
\( 4ab - 2a - 2b + 1 = 1 \)
\( 4ab = 2a + 2b \)
\( 2ab = a + b \)
Soruda istenen ifadede yerine yazalım.
\( \dfrac{4ab}{a + b} = \dfrac{2(a + b)}{a + b} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( a^{x + 2} = 4^2, \quad b^{x + 3} = 2^4 \)
olduğuna göre, \( (\frac{a}{b})^{x^2 + 5x + 6} \) kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( (\dfrac{a}{b})^{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{a^{x^2 + 5x + 6}}{b^{x^2 + 5x + 6}} \)
\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)
\( = \dfrac{a^{(x + 2)(x + 3)}}{b^{(x + 2)(x + 3)}} = \dfrac{(a^{x + 2})^{x + 3}}{(b^{x + 3})^{x + 2}} \)
Soruda verilen değerleri yerlerine yazalım.
\( = \dfrac{(4^2)^{x + 3}}{(2^4)^{x + 2}} = \dfrac{2^{4(x + 3)}}{2^{4(x + 2)}} \)
\( = 2^{4x + 12 - 4x - 8} \)
\( = 2^4 = 16 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 10^a = 2 \)
\( 10^b = 3 \)
\( 10^x = 45 \)
olduğuna göre, \( x \)'in \( a \) ve \( b \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster45 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
Soruda 3'ün eşiti verilmiş olsa da 5 için bir değer verilmediğini görüyoruz.
Bu durumda 5'i 10 ve 2 cinsinden yazalım.
\( 45 = \dfrac{3^2 \cdot 10}{2} \)
Tüm sayıların soruda verilen karşılıklarını yazalım.
\( 10^x = \dfrac{(10^b)^2 \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = \dfrac{10^{2b} \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = 10^{2b + 1 - a} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( x = 2b + 1 - a \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( a^4 - a^2 - 4 = 0 \) olduğuna göre, \( a^6 - 2a^4 - 3a^2 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen denklem üzerinde işlemler yaparak soruda istenen ifadeye ulaşmaya çalışalım.
Denklemin iki tarafını \( a^2 \) ile çarpalım.
\( a^6 - a^4 - 4a^2 = 0 \)
İstenen ifadeye ulaşmak için \( a^2 - a^4 \) terimine ihtiyacımız var.
Bu terimi elde etmek için ilk denklemi kullanalım.
\( a^4 - a^2 = 4 \)
\( a^2 - a^4 = -4 \)
Bulduğumuz iki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( a^6 - 2a^4 - 3a^2 = -4 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin