Sayı Kümeleri Arasındaki Ilişki

sayı kümeleri arasındaki ilişki

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişki 9. Sınıf

Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir.
Rakamlar kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur.

Sayı: Rakamların bir çokluk belirtecek şekilde bir araya gelmesiyle oluşturulan ifadelere sayı denir.

Sayı Kümeleri

1. Doğal Sayılar
N = {0, 1, 2, 3, &#;} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.

2. Sayma Sayıları
N⁺ = {1, 2, 3, 4, &#;} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

3. Tam Sayılar
Z = {&#;, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, &#;} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.
Z⁺ = {1, 2, 3, &#;} kümesinin elemanlarına pozitif tam sayılar denir.
Z^&#; = {&#;, -3, -2, -1} kümesinin elemanlarına negatif tam sayılar denir.

Not: Sıfır tam sayıdır ancak pozitif veya negatif değildir.

4. Rasyonel Sayılar

a, b ∈ Z, b ≠ 0 olmak üzere, a/b şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir.
Q = {a/b; a, b ∈ Z, b ≠ 0}

Not: Her tam sayı aynı zamanda rasyonel sayıdır.

5. İrrasyonel Sayılar
Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayılar denir. Q&#; ile gösterilir.

6. Gerçek (Reel) Sayılar
Rasyonel sayılar kümesi ile İrrasyonel sayılar kümesinin birleşiminden oluşan kümeye gerçek sayılar denir ve R ile gösterilir.

Sayı Doğrusu: Bir sayı doğrusu sonsuz noktanın birleşiminden oluşur ve her nokta bir gerçek sayıya karşılık gelir. Sayı doğrusu gerçek sayıların geometrik gösterimidir.

Koordinat Düzlemi

İki tane gerçek sayı doğrusunun 0 (sıfır) noktasında birbirine dik olacak şekilde kesiştirilmesiyle elde edilen düzleme koordinat düzlemi (analitik düzlem) denir. Reel sayılar kümesinin elemanlarıyla gösterilen her sıralı ikili, analitik düzlemde bir nokta belirtir.

Gerçek Sayılar Kümesinde Toplama ve Çarpma işleminin Özellikleri

Toplama İşleminin Özellikleri

1. Kapalılık özelliği: Her a, b ∈ R için a + b ∈ R dir.
9 ve 3 gerçek sayılardır ve 9 + 3 = 12 de bir gerçek sayıdır.

2. Değişme özelliği: Her a, b ∈ R için a + b = b + a dır.
9 + 3 = 3 + 9

3. Birleşme özelliği: Her a, b, c ∈ R için a + (b + c) = (a + b) + c dir.
9 + (3 + 5) = (9 + 3) + 5

4. Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği: Her a ∈ R için a + 0 = 0 + a = a ise &#;0&#; toplama işleminin etkisiz (birim) elemanıdır.
9 + 0 = 0 + 9 = 9

5. Ters Eleman özelliği: Her a ∈ R için a + (-a) =(-a) + a = 0 olduğu için a nın toplama işlemine göre tersi -a dır.
9 + (-9) = (-9) + 9= 0

Çarpma İşleminin Özellikleri

1. Kapalılık özelliği: Her a, b ∈ R için a . b ∈ R dir.
9 ve 3 gerçek sayılardır ve 9 . 3 = 27 de bir gerçek sayıdır.

2. Değişme özelliği: Her a, b ∈ R için a . b = b . a dır.
9 . 3 = 3 . 9

3. Birleşme özelliği: Her a, b, c ∈ R için a . (b . c) = (a . b) . c dir.
9 . (3 . 5) = (9 . 3) . 5

4. Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği: Her a ∈ R için a . 1 = 1 . a = a ise &#;1&#; çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanıdır.
9 . 1 = 1 . 9 = 9

5. Ters Eleman Özelliği: Her a ∈ R için ve a ≠ 0 için a . 1/a = 1/a . a = 1 ise a nın çarpma işlemine göre tersi 1/a dır. 0 sayısının çarpma işlemine göre tersi yoktur.
9 . 1/9 = 1/9 . 9 = 1

6. Yutan Eleman özelliği: Her a ∈ R için a . 0 = 0 . a = 0 ise çarpma işleminin yutan elemanı &#;0&#; dır.
9 . 0 = 0 . 9 = 0

7. Çarpma işleminin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği: Her a, b, c ∈ R için
a . (b + c) = a . b + a . c ve
(a + b) . c = a . c + b . c dir.
Bu özelliğe çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği denir.

Örneğin; 9 . (3 + 5) = 9 . 3 + 9 . 5
9 . 8 = 27 + 45
72 = 72

(9 + 3) . 5 =9 . 5 + 3 . 5
12 . 5 = 45 + 15
60 = 60

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişki Soruları ve Çözümleri

Sayı K&#;meleri Konu Anlatımı - Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel Ve Ger&#;ek Sayı K&#;mesi İle İlişkileri Konu Anlatımı

Haberin Devamı

Sayı kümeleri, matematiği oluşturan temel konulardan biri olmaktadır. Sayı kümeleri içerisinde pek çok farklı sayı çeşidinin yer aldığı geniş kapsamlı bir konu olmaktadır.

Sayı Kümeleri Konu Anlatımı

Matematikte başarılı olmak isteyen birinin matematiğin temelini teşkil eden sayıları ve sayı kümelerini iyi bilmesi gerekmektedir. Çünkü bu sayı kümeleri kullanılarak yapılan pek çok işlem mevcut olmaktadır. Günlük hayatta bir hesaplama yaparken dahi sayılar kullanılmaktadır bu nedenle bu temel konuların herkes tarafından bilinmesi gerekmektedir.

Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel Sayılar ve Gerçek Sayı Kümesi İle İlişkileri

Rakamlar sayıların ifade edilmesi için kullanılan semboller olmaktadır. 10 tane rakam bulunmaktadır. Rakamlar '' 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,'' şeklinde olmaktadır. Bu rakamlar kullanılarak oluşturulan sayı kümeleri şu şekilde olmaktadır:

Haberin Devamı

Doğal sayılar, sıfırdan başlayarak sonsuza kadar olan sayıların tamamını ifade etmektedir. Doğal sayılar ''N'' ile gösterilmektedir. N = { 0, 1, 2, 3, 4, … } sayı kümesine doğal sayılar kümesi adı verilmektedir. 0 en küçük doğal sayı olmaktadır. En büyük iki basamaklı doğal sayı ise 99 olarak ifade edilmektedir.

Tam sayılar, ''Z'' ile gösterilmektedir ve Z = { …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } kümesi bir tam sayı kümesi olmaktadır. 0' dan küçük olan tam sayılara negatif tam sayılar adı verilmektedir ve '' Z -'' olarak ifade edilmektedir. 0' dan büyük olan tam sayılar ise pozitif tam sayılar olarak adlandırılır ve Z+ şeklinde belirtilmektedir. Her doğal sayının aynı zamanda bir tam sayı olduğunun bilinmesi gerekmektedir.

Rasyonel sayılar, a ile b aralarında asal olan tam sayılar ve b sıfırdan farklı olacak şekilde abab olarak yazılabilen sayıların oluşturduğu kümeye rasyonel sayılar kümesi denmektedir ve'' Q'' sembolü ile gösterilmektedir. 0’dan küçük olan rasyonel sayılara negatif rasyonel sayılar kümesi denir ve '' Q- '' ile gösterilir. 0’dan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar kümesi denir ve'' Q+ ''ile ifade edilir. Doğal sayı olan her sayı aynı zamanda tam sayı ve rasyonel sayı olarak değerlendirilmektedir.

Haberin Devamı

İrrasyonel sayılar, a ve b aralarında asal olan tam sayılar ve b sıfırdan farklı olarak abab şeklinde yazılamayan sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi adı verilmektedir. ''Q'' harfi ile gösterilmektedir. İrrasyonel sayılar kök dışına tam olarak çıkamayan sayılar olarak belirtilmektedir. Ondalık açılımları devirsiz ve sınırsız bir şekilde olan sayılar irrasyonel sayılar olarak ifade edilmektedir. Rasyonel sayı kümesi ile irrasyonel sayı kümesi ayrık kümeler olarak bilinmektedir.

Gerçek sayı kümeleri, rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayı kümelerinin bir araya gelerek oluşturduğu sayı kümeleri olarak ifade edilmektedir. Bu sayı kümesi ''R'' sembolü ile belirtilmektedir. Gerçek sayılar, irrasyonel sayılar ve rasyonel sayılar kümesinin birleşimini oluşturmaktadır. Gerçek sayıların tamamı sayı doğrusunda yer almaktadır.

Haberin Devamı

Sayı kümeleri arasında şu şekilde bir N ⊂⊂ Z ⊂⊂ Q ⊂⊂ R ilişki ve Q ∪∪ Q’ = R ilişkisi bulunmaktadır.

Sayı Kümeleri

Önceki bölümde sayıları farklı özelliklerine göre sınıflandırabileceğimizden bahsettik, bu sınıflandırmalar içinde en temel olanı sayı kümeleridir. Tüm sayılar, aşağıda bahsedeceğimiz sayı kümelerinden birinin ya da birkaçının elemanı olabilir.

Sayı kümeleri isminden de anlaşılacağı gibi birer kümedir ve Kümeler konusunda göreceğimiz tüm işlemler ve özellikler sayı kümeleri için de geçerlidir.

Doğal Sayılar

Doğal sayılar kümesi 0'dan artı sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar ve \( \mathbb{N} \) sembolü ile gösterilir.

\( \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \ldots \} \)

0 hariç doğal sayılar kümesine sayma sayıları denir ve \( \mathbb{N^+} \) sembolü ile gösterilir.

\( \mathbb{N^+} = \{ 1, 2, 3, \ldots \} \)

NOT: Bazı (özellikle eski) kaynaklarda \( 0 \) doğal sayılara dahil edilmez, ancak günümüzde genel olarak \( 0 \) doğal sayı olarak kabul edilir.

Tam Sayılar

Tam sayılar kümesi eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar ve \( \mathbb{Z} \) sembolü ile gösterilir.

\( \mathbb{Z} = \{ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} \)

Pozitif tam sayılar kümesi 1'den artı sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar ve \( \mathbb{Z^+} \) sembolü ile gösterilir.

\( \mathbb{Z^+} = \{ 1, 2, 3, \ldots \} \)

Negatif tam sayılar kümesi -1'den negatif sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar ve \( \mathbb{Z^-} \) sembolü ile gösterilir.

\( \mathbb{Z^-} = \{ \ldots, -3, -2, -1 \} \)

0 (sıfır) pozitif ya da negatif değildir, işareti olmayan bir tam sayıdır.

Tam sayılar kümesini pozitif ve negatif tam sayılar kümeleri ve sıfırın birleşimi şeklinde aşağıdaki gibi gösterebiliriz.

\( \mathbb{Z} = \mathbb{Z^-} \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{Z^+} \)

Rasyonel Sayılar

Paydası sıfır olmamak şartıyla, iki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \) sembolü ile gösterilir.

\( \mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{a}{b}: a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0 \right\} \)

Aşağıdaki kesirli ifadeler tanım gereği birer rasyonel sayıdır.

\( \dfrac{1}{2}, -\dfrac{4}{3}, 2\dfrac{4}{5} \)

Bir kesre dönüştürülebilen ondalık sayı ve yüzdeli ifadeler birer rasyonel sayıdır.

\( 1,5 = \dfrac{3}{2} \)

\( \%75 = \dfrac{3}{4} \)

Tam sayılar kesirli ifade şeklinde yazılabildikleri için aynı zamanda birer rasyonel sayıdır.

\( 0 = \dfrac{0}{1} \)

\( 1 = \dfrac{1}{1} = \dfrac{2}{2} = \dfrac{5}{5} \)

\( -2 = -\dfrac{2}{1} = -\dfrac{4}{2} = -\dfrac{10}{5} \)

Virgülden sonra sonlu sayıda basamağı olan ondalık sayılar, bir kesirli ifadeye dönüştürülebildikleri için birer rasyonel sayıdır.

\( 0, \) \( = \dfrac{}{} \)

Devirli ondalık sayılar ondalık basamakları tekrar ederek sonsuza gitse de, bir kesirli ifadeye dönüştürülebildikleri için birer rasyonel sayıdır.

\( 0, = 0,\overline{3} = \dfrac{1}{3} \)

\( 2, = 2,\overline{27} = \dfrac{25}{11} \)

Özetlemek gerekirse, rasyonel sayıların ya virgülden sonra sonlu sayıda basamağı vardır, ya da bu basamaklar sonsuza gidiyorsa bir basamaktan sonra kendini tekrar eder.

\( \pi \) ve \( e \) sayılarının virgülden sonraki basamakları tekrar etmeden sonsuza gittiği için rasyonel sayılar kümesine dahil değildirler. \( \pi \) sayısı her ne kadar bazı sorularda karşımıza \( 3,14 \) veya \( \frac{22}{7} \) olarak çıksa da, bu \( \pi \) sayısının gerçek değeri olmayıp, sorularda hesaplama kolaylığı açısından verilen yaklaşık bir değerdir.

\( \sqrt{2}, \sqrt[3]{15}, \sqrt[4]{95} \) gibi kökten çıkamayan ifadeler virgülden sonraki basamakları tekrar etmeden sonsuza gittiği için rasyonel sayılar kümesine dahil değildirler.

\( a \ne 0 \) olmak üzere, \( \frac{a}{0} \) biçimindeki ifadeler tanımsızdır ve ne rasyonel sayılar ne de herhangi diğer bir sayı kümesine dahil değildirler. Yine \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( \frac{0}{a} \) biçimindeki ifadelerin ise 0'a eşit olduğunu unutmayalım.

İrrasyonel Sayılar

İrrasyonel sayılar, iki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılamayan sayılardır. İrrasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q'} \) sembolü ya da genel kabul görmüş bir sembol olmasa da kimi zaman \( \mathbb{I} \) ile gösterilir.

İrrasyonel sayılara aşağıdaki örnekleri verebiliriz.

Pi sayısı: \( \pi = 3, \)

Euler sayısı: \( e = 2, \)

Altın oran: \( \phi = 1, \)

Tam kare olmayan tüm doğal sayıların karekökleri: \( \{ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \ldots \} \)

Çoğu logaritmik ifade: \( \{ \log{2}, \log_2{3}, \ldots \} \)

Reel (Gerçel) Sayılar

Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümelerinin birleşim kümesine reel (gerçel) sayılar denir. Reel sayılar kümesi \( \mathbb{R} \) sembolü ile gösterilir.

\( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'} \)

Sayı doğrusu üzerindeki her bir noktayı bir reel sayı olarak ifade edebiliriz. Aynı şekilde, her bir reel sayı sayı doğrusu üzerinde farklı bir noktaya karşılık gelir. Benzer şekilde, iki boyutlu kartezyen düzlemindeki her bir noktanın koordinat (apsis ve ordinat) değerleri de reel sayılar kümesinde tanımlıdır.

Reel sayılar kümesi rasyonel ve irrasyonel sayılar kümelerinin birleşiminden oluşur, dolayısıyla rasyonel ve irrasyonel sayılar dışında bir reel sayı yoktur.

Reel sayılar kümesini pozitif ve negatif reel sayılar kümeleri ve sıfırın birleşimi şeklinde aşağıdaki gibi gösterebiliriz.

\( \mathbb{R} = \mathbb{R^-} \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{R^+} \)

Sıfırın dahil olduğu aşağıdaki sayı kümeleri de belirtilen isimlerle kullanılabilir.

Negatif olmayan reel sayılar \( = \mathbb{R^+} \cup \{ 0 \} \)

Pozitif olmayan reel sayılar \( = \mathbb{R^-} \cup \{ 0 \} \)

Sanal Sayılar

Karesi bir negatif reel sayı olan, ya da bir başka deyişle bir negatif reel sayının karekökü olan sayılara sanal sayı denir.

Aşağıdaki sayılar birer sanal sayıdır.

\( \sqrt{-1}, \sqrt{-2}, \sqrt{-\frac{7}{2}} \)

\( -1 \) sayısının kareköküne, ya da karesi \( -1 \) olan sayıya sanal birim denir ve \( i \) ile gösterilir.

\( i = \sqrt{-1} \)

\( i^2 = -1 \)

Tüm sanal sayıları sanal birim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz. Sanal birimin tüm reel sayı katları sanal sayılar kümesini oluşturur.

\( i, 2i, -3i, \sqrt{-5} = \sqrt{5}i \)

Karmaşık Sayılar

Reel ve sanal bileşenlerden oluşan ve \( a + bi \) şeklinde ifade edilebilen sayılara karmaşık sayılar denir. Karmaşık sayılar kümesi \( \mathbb{C} \) sembolü ile gösterilir.

\( \mathbb{C} = \{ a + bi: a, b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1} \} \)

Reel sayılar sanal kısımları sıfır olacak şekilde \( a + 0i \) şeklinde gösterilebildikleri için, tüm reel sayılar (doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar) aynı zamanda birer karmaşık sayıdır.

\( 3 = 3 + 0i \)

\( \sqrt{2} = \sqrt{2} + 0i \)

Benzer şekilde, sanal sayılar reel kısımları sıfır olacak şekilde \( 0 + bi \) şeklinde gösterilebildikleri için, tüm sanal sayılar aynı zamanda birer karmaşık sayıdır.

Karmaşık sayılar kümesi reel ve sanal sayılar kümelerinin birleşiminden oluşur, dolayısıyla reel ve sanal sayılar dışında bir karmaşık sayı yoktur.

Sanal ve karmaşık sayıları daha detaylı şekilde "Karmaşık Sayılar" konusunda inceyeceğiz.

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişki

Yukarıda listelediğimiz sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi küme işlemi ve bir şekil olarak aşağıdaki gibi özetleyebiliriz.

\( \mathbb{N} = \{ 0 \} \cup \mathbb{Z^+} \)

\( \mathbb{Z} = \mathbb{Z^-} \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{Z^+} \)

\( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'} \)

\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \)

SORU 1:

Aşağıdaki sayıların ait oldukları sayı kümelerini belirtin.

\( 1; \sqrt{9}; \sqrt{10}; 4i \)

Çözümü Göster

\( 1 \): Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar (tüm tam sayılar kesir olarak yazılabilir), reel sayılar, karmaşık sayılar (\( 1 + 0i \) olarak yazılabilir).
\( \sqrt{9} \): 9 bir tam kare olduğu için karekökü tam sayıdır, dolayısıyla ait olduğu sayı kümeleri 1 ile aynıdır.
\( \sqrt{10} \): İrrasyonel sayılar (10 bir tam kare olmadığı için karekök değerinin ondalık kısmı tekrarlamadan sonsuza gider), reel sayılar, karmaşık sayılar (\( \sqrt{10} + 0i \) olarak yazılabilir).
\( 4i \): Sanal sayılar, karmaşık sayılar.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

I. Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi reel sayılar kümesini verir.

II. Pozitif ve negatif tam sayıların birleşimi tam sayılar kümesini verir.

III. Reel ve sanal sayıların birleşimi karmaşık sayılar kümesini verir.

IV. Rasyonel sayılar doğal sayıları kapsar.

Çözümü Göster

Verilen ifadeleri inceleyelim.

I. Her reel sayı ya rasyonel ya da irrasyoneldir. Bu ifade doğrudur.

II. Tam sayılar kümesi pozitif ve negatif tam sayılar ve sıfırın birleşiminden oluşur. Bu ifade yanlıştır.

III. Reel sayılar sadece reel bileşeni olan, sanal sayılar da sadece sanal bileşeni olan karmaşık sayılardır. Karmaşık sayılar bu sayılara ek olarak her iki bileşeni de sıfırdan farklı olan sayıları da içerir (örneğin \( 2 + 3i \)). Bu ifade yanlıştır.

IV. Tüm tam sayılar kesirli şekilde yazılabildikleri için rasyonel sayılar doğal sayıları da kapsar. Bu ifade doğrudur.

Buna göre I. ve IV. ifadeler doğrudur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

Aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

I. Rasyonel iki sayının toplamı rasyoneldir.

II. Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı irrasyoneldir.

III. İrrasyonel iki sayının toplamı irrasyoneldir.

Çözümü Göster

İfadeleri sırayla inceleyelim.

I. ifade: Rasyonel iki ifadenin toplamını yine kesirli bir şekilde yazabiliriz. Bu ifade doğrudur.

II. ifade: Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. Bu ifade doğrudur.

III. ifade: İrrasyonel iki sayının toplamı irrasyonel olmayabilir (örneğin \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \)). Bu ifade yanlıştır.

Buna göre I. ve II. ifadeler her zaman doğrudur.

Soru sorun Soruda hata bildirin