Ayt Fizik Atışlar Formülleri

İki boyutta hareketi incelemeye eğik atış ile devam ediyoruz. Eğik atış yatay düzlemle açı yapacak şekilde atılan bir cismin hareketidir. Cisim yataydan yukarı yönlü bir açı yapacak şekilde atılıyorsa buna yukarı yönlü eğik atış, aşağı yönlü atılıyorsa aşağı yönlü eğik atış ya da pike atış denir. Biz önce yukarı yönlü eğik atışa bakalım. Eğik atış formülleri de incelediklerimiz arasında olacak.

Aşağıdaki animasyonda yatayla 60° açı yapacak şekilde bir ilk hızla atılan bir topu gösteriyor. Tıpkı yatay atış hareketinde olduğu gibi, hava direncini ihmal ettiğimizde, eğik atılan cisim hem yatay hem de düşey doğrultuda aynı anda hareket eder, yani bileşik hareket yapar. Öyleyse eğik atış hareketini anlamamız için yatay ve düşey boyuttaki hareketleri ayrı ayrı incelemeliyiz.

Yatay boyutta eğik atış hareketi

Eğik atış hareketinde yatay boyuttaki hareketi anlamak için x-ekseni boyunca hız vektörüne dikkatlice bakmamız gerekiyor. Yukarıdaki animasyonda cisim atıldığı andan itibaren yatay hızının değişmediğini görebildiniz mi? v_x sağa doğru ve büyüklüğü sabit, cismin yeri değişse bile yatay yöndeki hızının büyüklüğü değişmiyor. Bu nedenle cisim bir boyutta sabit hızlı hareket (ya da düzgün doğrusal hareket) yapıyor.

Şimdi aşağıdaki animasyona bakın. Üstteki mavi top yukarı yönlü eğik atış hareketi yapıyor. Alttaki kırmızı top sabit hızlı yani düzgün doğrusal hareket yapıyor. Her iki topun aynı anda harekete geçtiklerini varsayarak, ikisinin de yatayda aldıkları yolun (yer değiştirmelerinin) hareketleri boyunca tüm zamanlarda birbirine eşit olduğunu görüyoruz.

O zaman eğik atışın yatay boyuttaki konum, hız ve zaman grafikleri düzgün doğrusal hareketle aynı olmalı. Ayrıca bu grafiklerin yatay atışın yatay boyuttakilerle de aynı olduğunu fark etmiş olmalısınız.

Eğik atışın yatay boyutta konum zaman grafiği: (Eğim hızı veriyor.)

Eğik atışın yatay boyutta hız zaman grafiği: (Grafiğin altında kalan alan alınan yolu, eğimi ivmeyi veriyor.)

Eğik atışın yatay boyutta ivme zaman grafiği: (Hız sabit demek.)

Eğik atışta yatay yönde hız neden değişmiyor? Çünkü, hava direncini ihmal ediyoruz, dolayısıyla, hareketi esnasında cisme yatay yönde etkiyen herhangi bir kuvvet yok. Net kuvvet sıfırsa, ivme de sıfır olmak zorunda (Newton’un ikinci hareket kanunu F_net = ma). İvme sıfır olduğuna göre hız sabit, çünkü ivme zamana göre hız değişimidemek.

Öyleyse eğik atışta yatay boyutta hareket denklemlerimiz yani formüllerimiz bir boyutta sabit hızlı hareket ile aynı. Hızın yatay bileşeninin v_0x = v₀ cosθ olduğuna dikkat edin. θ açısı ilk hız vektörünün yatayla yaptığı açı. t ise uçuş süresi.
a = 0 \space m/s^2

Cismin x-eksenindeki maksimum yer değiştirmesi yani menzili:
x_{menzil} = v_{0x}t_{u} = v_0 cos \theta t_{u}

Düşey boyutta eğik atış hareketi

Yazının başındaki animasyona tekrar bakın. Bu kez düşeydeki yani yukarı ve aşağı yönlü harekete dikkat edin. Düşeyde (yani y-ekseninde) hız vektörünün uzunluğu nasıl değişiyor? Cisim yukarı çıkarken kısaldığını, tepe noktasına (h_maksimum diyoruz buna) ulaştığında sıfır olduğunu, aşağı inerken uzadığını görmüş olmalısınız. Düşey boyuttaki hareketin yukarı yönlü düşey atış hareketi olduğunu fark edebildiniz mi?

Aşağıdaki animasyona dikkatlice bakın. Sağdaki mavi top eğik atış hareketi yapıyor. Soldaki kırmızı top yukarı yönlü düşey atış hareketi yapıyor. Her iki top aynı anda harekete geçtiyse, ikisinin de yerden yükseklikleri hareketleri boyunca tüm zamanlarda birbirine eşit.

Yukarı yönlü eğik atış hareketi, düşey boyutta, niçin yukarı yönlü düşey atış hareketiyle aynı? Çünkü cisim sadece yer çekimi (dünyanın kütle çekimi) kuvveti etkisi altında (hava direncini ihmal ediyoruz). Yani cisme uygulanan net kuvvet cismin ağırlığına eşit. Bu yüzden düşey doğrultudaki ivmesi a_y = g, yani yer çekimi ivmesine eşit. Bu nedenle, eğik atılan cisim düşey yukarı yönde çıkarken düşey hızı düzgün azalır ve bir süre sonra sıfır olur. Artık cisim daha fazla yükselemez; çıkabileceği maksimum yüksekliğe (tepe noktasına) ulaşmış olur. Cismin çıkabileceği maksimum yükseklikte sadece yatay hızı kalır. Bu noktadan sonra cismin hareketi yatay atış hareketinin aynısıdır.

Öyleyse yukarı yönlü eğik atışta düşey boyuttaki konum, hız ve ivme grafikleri yukarı yönlü düşey atış ile aynı.

Eğik atışın düşey boyutta konum zaman grafiği: (h_maks tepe noktası yani maksimum yükseklik, t_ç tepe noktasına çıkış süresi t_u uçuş süresi demek. t_u = 2t_ç yani uçuş süresi tepe noktasına çıkış süresinin iki katına eşit.)

Eğik atışın düşey boyutta hız zaman grafiği:

Eğik atışın düşey boyutta ivme zaman grafiği:

Öyleyse yukarı yönlü eğik atış için hareket denklemlerimiz yani formüllerimiz yukarı yönlü düşey atış ile aynı:

a = g; a = 10 \space m/s^2
v_y = v_{0y} - gt
h = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2

h_{maks} = \frac{1}{2}gt_c^2
Zamansız hız formülümüz de:
v_y^2 = v_{oy}^2 - 2gh

Eğik atışta hız vektörü ve büyüklüğü

Aşağıdaki resimde bir top eğik olarak atılıyor (hava direnci ihmal ediliyor). Topun bulunduğu noktalarda sırasıyla 0, t, 2t, 3t ve 4t anlarında fotoğraf çekildiğini varsayalım.

• Topun ilk hızı v₀, yatayla yaptığı açı θ (bu t=0 anı). Yataydaki hız v_0x = v₀cosθ, düşeydeki hızı v_0y = v₀sinθ
• t anındaki hızı v. Yataydaki hızı değişmiyor. v_x = v_0x = v₀cosθ. Düşeydeki hızı ise: v_y = v_0y &#; gt. = v₀sinθ &#; gt. Hız vektörü yatay ve düşey hız vektörlerinin bileşeni, büyüklüğünü de pisagor teoreminden bulabiliriz.

• 2t anındaki hızı sadece yatay hız, v_0x. Bu noktada maksimum yüksekliğe yani tepe noktasına ulaşıyor. Yalnızca yatay hız kalıyor. Ama düşey hızın sıfır olmasından şunu elde edebiliriz:

• 3t anında, yükseklik t anındaki yüksekliğe eşit. Hız v&#;, yatay hızın yönü ve büyüklüğü değişmiyor v_0x = v₀cosθ. Düşey hız ise artık eksi yönlü (aşağı doğru). Düşey hızın büyüklüğü v_y = v_0y &#; 3gt. = v₀sinθ &#; 3gt. Hız vektörünün şiddetini bulabiliriz:

Bu durumu dikkatlice t anıyla kıyaslayalım:

v^2 = (v_0cos \theta)^2 + (2gt - gt)^2 \space (t \space ani)
v&#;^2 = (v_0cos \theta)^2 + (2gt - 3gt)^2 \space (3t \space ani)
Buradan v = v&#; olduğunu görüyoruz. Bunu genellersek, eğik olarak atılan bir cismin yükselirken ve düşerken aynı yüksekliklerdeki hız büyüklükleri (süratleri) eşittir.

• 4t anında cisim yere düşüyor. Yatay hız değişmiyor, düşey hız ise -v_0y. Yani yere çarpma hızının büyüklüğü atılma hızıyla aynı.
• Eğik atılan cisimlerin yörüngesinin (hareketleri boyunca izledikleri yolun) parabolik olduğunu da görüyoruz.
• Tepe noktasına çıkış süresinin, tepe noktasından yere iniş süresine eşit olduğunu ve bu ikisinin de uçuş süresinin yarısına eşit olduğunu da görüyoruz.
• Tepe noktasından sonra cismin yatay atış hareketiyle aynı hareketi yaptığını da görüyoruz.

Örnek soru 1:

Bir cisim yatayla 37° açı yapacak biçimde, 20 m/s büyüklüğünde ilk hızla yukarı yönlü atılmaktadır. Buna göre cismin:

a) Tepe noktasındaki (maksimum yükseklikteki) hızının büyüklüğü kaç m/s olur?
b) Tepe noktasına çıkış süresi kaç s olur?
c) Uçuş süresi kaç s olur?
d) Çıkabileceği maksimum yükseklik kaç m olur?
e) Menzili kaç m olur?

(sin 37° = 0,6; cos 37° = 0,8 ve g = 10 m/s² alın).

Çözüm

a) Cisim yukarı yönlü eğik atış yapıyor. Tepe noktasındaki hızının cismin ilk hızının yatay bileşenine eşit olduğunu biliyoruz. Öyleyse:
v_x = v_{0x} = v_0 cos \theta

v_0 = 20 \space m/s; v_x = (20 \space m/s)cos 37^\circ
v_x = (20 \space m/s)(0,8) = 16 \space m/s

b) Tepe noktasına çıkış süresini düşey hızdan bulabiliriz. Düşey hızın sıfır olduğu an tepe noktasına ulaşılan an demek.
v_{0y} - gt = 0 ; v_0 sin \theta = gt_c

c) Uçuş süresinin çıkış süresinin iki katı olduğunu biliyoruz: t_u = 2t_ç
t_u = 2 \times 1,2 \space s = 2,4 \space s
d) Maksimum yüksekliği çıkış süresinden bulabiliriz:
h = \frac{1}{2}gt^2_c

e) Menzilin yani yatayda alınan toplam yolun yatay hızla uçuş süresinin çarpımı olduğunu biliyoruz:
x = v_{0x}t_u = (16 \space m/s)(2,4 \space s) = 38,4 \space m

Örnek soru 2:

Hava direncinin ihmal edildiği ortamda bir cisim aynı ilk süratle fakat sırasıyla yatayla θ₁ = 30°, θ₂ = 45° ve θ₃ = 60° açı yapacak biçimde yukarı yönlü atılıyor. Cismin menzil uzaklıkları (yatayda alabilecekleri en uzun yol) sırasıyla x₁, x₂ ve x₃ olduğuna göre, bu uzaklıklar büyükten küçüğe nasıl sıralanır? (sin 30° = cos 60° = 0,5; sin 60° = cos 30° = √3/2; sin 45° = cos 45° = √2/2)

Çözüm

Menzilleri hesaplamadan önce genel menzil formülü elde edebilecek miyiz bir deneyelim:
x = v_0 cos \theta t_{u}
t_u = 2t_c; t_{c} = \frac{v_0 sin \theta}{g}; t_u = 2\frac{v_0 sin\theta}{g}
x = \frac{v_0^2}{g} (2sin \theta cos \theta)

Trigonometriden :
sin (2\theta) = 2sin \theta cos \theta

Öyleyse:
x = \frac{v_0^2}{g} sin 2\theta
İlk hızlar aynı v₀, sin 2θ değeri en yüksek olan açı en büyük olan olmalı.

• θ = 30° için 2θ = 60° => sin 60° = √3/2
• θ = 45° için 2θ = 90° => sin 90° = 1
• θ = 60° için 2θ = ° => sin ° = √3/2

Demek ki en uzağa 45° ile atılan cisim gider, 30° ve 60° ile atılan cisimler daha az ama birbirine eşit mesafe giderler.

x₂ > x₁ = x₃

Eğik atış ile ilgili kazanımlar

Atış hareketlerini yatay ve düşey boyutta analiz eder.
Öğrencilerin deney yaparak veya simülasyonlarla atış hareketlerini incelemeleri ve yorumlamaları sağlanır.
İki boyutta sabit ivmeli hareket ile ilgili hesaplamalar yapar.

düşey atış hareketi

A. Yukarıdan Aşağıya Düşey Atış

• Yerin çekim alanı içinde belli bir yükseklikten ilk hızla düşey aşağı yönde atılan cisimlerin yaptığı harekettir.

Hareketin Grafikleri

• Serbest düşmenin özel bir halidir. Serbest bırakılan cisim bir süre sonra yukarıdan aşağıya düşey atış hareketi yapar

B. Aşağıdan Yukarıdan Düşey Atış

• Yerden belli bir hızla düşey yukarı doğru atılan ve yerçekimi etkisiyle yavaşlayıp durduktan sonra serbest düşme hareketi yapan cismin hareketidir.

• Atış hareketi hava direncinin önemsenmediği ortamda kütleden bağımsızdır. Atılma hızı yere çarpma hızına eşittir.
• Cisim maksimum yüksekliğe (tepe noktasına) çıktıktan sonra serbest düşme hareketi yapar.

Cismin çıkabileceği maksimum yüksekliği serbest düşerken aldığı yol olan

Cismin tepe noktasına çıkma süresi iniş süresine eşittir. Cismin iniş süresi serbest düşerken aldığı yol olan

• Cisim yerin aynı bir yatay yüksekliğindeki iki noktadan gidiş ve dönüşte aynı büyüklükteki hızla geçer.
• Örneğin atılma hızı cismin yere çarpma hızına eşittir.
• Ya da cismin K, L noktalarındaki V1, V2 hızları birbirine eşit büyüklüktedir.
• Cisim yerden K noktasına K dan M ye ulaştığı süreden daha kısa sürede ulaşır. Çünkü cismin yerle K noktası arasındaki ortalama hızı KM arasındaki ortalama hızından büyüktür.

Hareketin Grafik ve Formülleri

Fizik 1 YGS- LYS Konu Anlatımı ve Konu Testine Geri Dön

Serbest Düşme

h=1/2gt²
v=gt
V²=2gh

Düşey Atış

H=V₀t-1/2gt²
V=V_o²+2gh
V²=v₀²-2gh

Aşağıdan Yukarı Düşey Atış

H=t-1/2gt²
V=V_o-gt
V²=V₀²-2gh_max
T_uçuş=2v₀/g
T_{çıkış=Vo/g}

H_max=V₀²/2g
H_{max da V=0}

Yukarıdan Aşağıya Düşey Atış

H=V_ot+1/2gt²
V=V_o+gt
V²=V₀²+2gh_max

Yatay Atış

X_menzil=V_ot
H=1/2gt²
V_x=V₀
V_y=gt
V_y²=2gh
V²=V_y²+V_o²

Düzgün Doğrusal Hareket

X=V_ot+1/2at²
V=V_o+at
V₂=V_o²+2ax

Düzgün Yavaşlayan Hareket

X=V_ot-1/2at²
V=V_o-at
V₂=V_o²-2ax

Eğik Atış

Vx=V0x sabittir
Vy=V0y-gt
T_uçuş=2V_oy/g
Tçıkış= Voy/g
X_menzil=V_oxt
H=V_oyt-1/2gt²
V_y²=V_0y²-2gh
0=V_oy²-2gh_max
H_max=V_0y²/2g   maksimum yükseklikte Vy=0

——————————————-
h= yükseklik
Hmax= maksimum yükseklik
v=hız
V0=ilk hız
Vy= düşey bileşendeki hız
Vx= yatay bileşendeki hız
g=yer çekimi ivmesi (sabit bir değerdir genelde 10 kabul edilir)
t=süre
Tçıkış=çıkış süresi
Tiniş=iniş süresi
Tuçuş= uçuş süresi
X=cismin yatayda aldığı yol
a=ivme

SERBEST DÜŞME

Hava sürtünmesinin olmadığı durumlarda, Dünya yüzeyine yakın bir noktadan bırakılan bütün cisimler yer çekiminden dolayı sabit bir ivmeyle düşer. Bu ivme, yer çekimi ivmesidir  ve cismin kütlesinden bağımsızdır. Cisimlerin yaptığı bu harekete, serbest düşme hareketi denir.

Belirli bir yükseklikten serbest bırakılan bir cismin ivme-zaman, hız-zaman ve konum-zaman grafikleri aşağıdaki gibi olur.

Serbest düşme hareketinin ivmesi yer çekimi ivmesi g’dir.

Yer çekimi ivmesi, yeryüzü yakınlarında yaklaşık g = 9,8 m/s² dir. Ancak genellikle g = 10 m/s² kullanılır.

Serbest düşme hareketi kütleden bağımsızdır. Serbest düşen bütün cisimler g ivmesi ile hızlanır.

Serbest düşen bir cismin ilk hızı sıfırdır. Sonraki her saniye hızı 10 m/s artar.

Düşeyde aşağı yön negatif seçilirse, serbest düşme hareketinin grafikleri aşağıdaki gibidir.

YUKARIDAN AŞAĞIYA DÜŞEY ATIŞ

Yerden belli bir yükseklikten ilk hızla düşey olarak aşağıya doğru atılan cisimlerin hareketidir. Böyle bir cismin ivme-zaman, hız-zaman ve konum-zaman grafikleri aşağıdaki gibi olur.

Cisim atıldıktan sonra ağırlığının etkisi altında hızlanır.

Yukarıdan aşağıya düşey atış hareketinin ivmesi yer çekimi ivmesi g’dir.

Düşeyde aşağı yön negatif seçilirse, hareketin grafikleri aşağıdaki gibidir.

AŞAĞIDAN YUKARIYA DÜŞEY ATIŞ

Belli bir ilk hızla düşey olarak yukarıya doğru atılan cisimlerin hareketidir. Böyle bir cismin ivme-zaman, hız-zaman ve konum-zaman grafikleri aşağıdaki gibi olur.

Cisim atıldıktan sonra ağırlığının etkisi ile hareket eder. Hızı önce azalarak sıfır olur. Sonra geri dönerek hızlanır.

Tepe noktasından sonraki hareket serbest düşme hareketidir.

Aşağıdan yukarıya düşey atış hareketinin ivmesi yer çekimi ivmesi g’dir.

Düşeyde yukarı yön pozitif seçilirse, hareketin grafikleri aşağıdaki gibidir. (h_m : cismin çıkabileceği maksimum yükseklik)

Cisim atıldıktan sonra düşeyde ağırlığının etkisi altında, yer çekimi ivmesi ile hızlanır.

Cisim yatayda ise sabit hızlı hareket yapar.

Yatay atış hareketi düşeyde serbest düşme, yatayda sabit hızlı hareketin bileşik bir hareketidir.

Düşeyde aşağı yön negatif seçilirse, hareketin grafikleri aşağıdaki gibidir.

Cisim atıldıktan sonra düşeyde ağırlığının etkisi altında, yer çekimi ivmesi ile hareket eder.

Cisme yatay doğrultuda herhangi bir kuvvet etki etmediği için, cisim yatayda sabit hızlı hareket yapar.

Eğik atış hareketi, düşeyde düşey atış, yatayda sabit hızlı hareketin bileşik bir hareketidir.

Düşeyde aşağı yön negatif seçilir ve cismin, atıldığı düzeye düştüğü kabul edilirse, hareketin grafikleri aşağıdaki gibidir.

HAVA SÜRTÜNMESİ (DİRENCİ)

Havanın, içinde hareket eden cisimlere uyguladığı, harekete zıt yöndeki kuvvete hava sürtünmesi ya da hava direnci denir ve F_D ile gösterilir.

Hava direnci diğer sürtünme kuvvetlerinde olduğu gibi sadece göreceli bir hareket varsa etkin olur, durgun cisimlere
etki etmez.

Hava direncinin büyüklüğü,

Cismin hareket doğrultusuna dik en büyük kesit alanıyla doğru orantılıdır.
Cismin şekline bağlıdır.
Havanın öz kütlesine bağlıdır.
0,5 m/s&#;den küçük hızlarda hız ile,
0,5 m/s ile 50 m/s arasındaki hızlarda hızın karesi ile,

50 m/s&#;den büyük hızlarda hızın daha büyük üsleriyle orantılıdır.