kaynağı değiştir]
örneğinde olduğu gibi, üs bir rasyonel sayı ise, bu, olarak, bir köklü sayı oluşturur. Bu konu için köklü sayılar incelenebilinir.
\( x^n \) ifadesi \( n \) tane \( x \) sayısının çarpım işlemini ifade eder. Bu ifadede \( x \) sayısına işlemin tabanı, \( n \) sayısına \( x \)'in üssü ya da kuvveti denir.
\( x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot x \ldots x}_\text{n adet} \)
ÖRNEK:
\( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \)
\( (-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \)
Çarpma işlemini tekrarlı toplama olarak düşünebildiğimiz gibi üs işlemini de tekrarlı çarpma olarak düşünebiliriz.
Bir sayının farklı kuvvetleri aşağıdaki şekilde okunur.
\( 5^2 \): 5'in karesi, 5'in 2. kuvveti ya da 5 üssü 2
\( 5^3 \): 5'in küpü, 5'in 3. kuvveti ya da 5 üssü 3
\( 5^n \): 5'in \( n \). kuvveti ya da 5 üssü \( n \)
Üs işleminin önceliği diğer işlemlerden yüksektir ve bu açıdan üssün, parantezlerin ve negatif işaretinin yerlerine dikkat edilmelidir. Aşağıdaki işlemlerin tümünde üs işleminin tabanı \( -2 \) değil \( 2 \)'dir ve negatif işareti üs işleminin sonucuna uygulanmaktadır.
\( -2^2 = (-2^2) = -(2)^2 = -4 \)
Negatif bir sayının üssünü almak için, üs işlemi negatif işareti parantezin içinde kalacak şekilde tüm paranteze uygulanmalıdır.
SORU 1:
\( -2^4 + (-5^1) - 3^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİşlem önceliklerini doğru belirlemek için ilgili yerlere parantez koyalım.
\( -(2^4) + (-(5^1)) - (3^2) \)
\( = -16 + (-5) - 9 \)
\( = -30 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a^b = 256 \) eşitliğini sağlayan \( a \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitliği sağlayan pozitif tam sayı \( a \) ve \( b \) değerleri aşağıdaki gibidir.
\( 2^8 = 256 \Longrightarrow a = 2 \)
\( 4^4 = 256 \Longrightarrow a = 4 \)
\( 16^2 = 256 \Longrightarrow a = 16 \)
\( 256^1 = 256 \Longrightarrow a = 256 \)
Buna göre \( a \) değerlerinin toplamı \( 2 + 4 + 16 + 256 = 278 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
0 hariç tüm reel sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
\( x \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^0 = 1 \)
ÖRNEK:
\( 3^0 = 1 \)
\( (-2)^0 = 1 \)
Tüm reel sayıların birinci kuvveti kendisine eşittir.
\( x^1 = x \)
ÖRNEK:
\( 5^1 = 5 \)
\( (-2)^1 = -2 \)
\( 0^1 = 0 \)
0 sayısının pozitif reel sayı kuvvetleri 0'a eşittir.
\( n \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( 0^n = 0 \)
ÖRNEK:
\( 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \)
\( 0^{\pi} = 0 \)
0 sayısının negatif reel sayı kuvvetleri tanımsızdır.
\( n \in \mathbb{R^-} \) olmak üzere,
\( 0^n \Longrightarrow \) Tanımsız
ÖRNEK:
\( 0^{-2} = \dfrac{1}{0^2} \Longrightarrow \) Tanımsız
0 sayısının 0. kuvveti için kesin kabul görmüş bir değer yoktur ve matematiğin farklı alt dallarında farklı sebeplerle tanımsız ya da 1 olarak kabul edilir.
1'in tüm reel sayı kuvvetleri 1'dir.
\( n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 1^n = 1 \)
ÖRNEK:
\( 1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)
\( 1^{-\frac{2}{3}} = 1 \)
Pozitif/negatif sayıların pozitif tek/çift sayı üslerinin pozitif/negatif olma durumları aşağıdaki gibidir.
İşlem | Örnek |
---|---|
\( (+)^\text{Çift} = (+) \) | \( 3^2 = 9 \) |
\( (+)^\text{Tek} = (+) \) | \( 3^3 = 27 \) |
\( (-)^\text{Çift} = (+) \) | \( (-3)^2 = 9 \) |
\( (-)^\text{Tek} = (-) \) | \( (-3)^3 = -27 \) |
Bu tabloya göre, üs çift sayı ise sonuç tabanın işaretinden bağımsız her zaman pozitif, tek sayı ise tabanın işareti ile aynıdır.
Üs bir pozitif tam sayı olmak üzere, tek ve çift sayıların arasındaki üs işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
İşlem | Örnek |
---|---|
\( \text{Çift}^\text{Çift} = \text{Çift} \) | \( 4^2 = 16 \) |
\( \text{Çift}^\text{Tek} = \text{Çift} \) | \( 4^3 = 64 \) |
\( \text{Tek}^\text{Çift} = \text{Tek} \) | \( 3^2 = 9 \) |
\( \text{Tek}^\text{Tek} = \text{Tek} \) | \( 3^3 = 27 \) |
Buna göre, sonucun tek/çift olma durumu açısından üssün bir önemi yoktur, taban çift ise sonuç çifttir, taban tek ise sonuç tektir. Bunun sebebi, çarpan sayısından bağımsız olarak çift sayıların çarpımının çift sayı, tek sayıların çarpımının tek sayı olmasıdır.
SORU 3:
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a^b = 64 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) sıralı ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( a \)'nın pozitif olduğu durumda eşitliği sağlayan 4 \( (a, b) \) sıralı ikilisi vardır.
\( 2^6 = 64 \)
\( 4^3 = 64 \)
\( 8^2 = 64 \)
\( 64^1 = 64 \)
Bu çözümlerden \( b \)'nin çift sayı olduğu durumlarda \( a \)'nın negatif değerleri de eşitliği sağlar.
\( (-2)^6 = 64 \)
\( (-8)^2 = 64 \)
Buna göre eşitliği sağlayan 6 \( (a, b) \) sıralı ikilisi vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
1-9 arası sayıların 1000'e kadarki üs değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
1-30 arası sayıların tam kare değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Son basamağı 0, 1, 5 ya da 6 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin son basamakları yine sırasıyla 0, 1, 5, 6 olur. Bunun sebebi, bu rakamların kendileriyle bir kez çarpımında bu durumun oluşması ve diğer tüm kuvvetlerinde aynı durumun devam etmesidir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..0)^n = (....0) \)
\( (..1)^n = (....1) \)
\( (..5)^n = (....5) \)
\( (..6)^n = (....6) \)
Son basamağı 4 ya da 9 olan sayıların 1. ve sonraki ikişerli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin (3, 5, 7, vb.) son basamakları yine sırasıyla 4, 9 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..4)^{2n + 1} = (....4) \)
\( (..9)^{2n + 1} = (....9) \)
Son basamağı 2, 3, 7 ya da 8 olan sayıların 1. ve sonraki dörderli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin (5, 9, 13, vb.) son basamakları yine sırasıyla 2, 3, 7, 8 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..2)^{4n + 1} = (....2) \)
\( (..3)^{4n + 1} = (....3) \)
\( (..7)^{4n + 1} = (....7) \)
\( (..8)^{4n + 1} = (....8) \)
SORU 4:
\( 31^{13} = a, \quad 24^{14} = b, \quad 37^{19} = c \) sayıları veriliyor.
Buna göre bu sayıların son basamaklarındaki rakamların çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..1)^n = (....1) \)
\( 31^{13} = (....1) \)
Buna göre \( a \) sayısının son basamağındaki rakam 1 olur.
\( (..4)^{2n + 1} = (....4) \)
\( 24^1 = 24^{13} = (....4) \)
\( 24^{14} = (....6) \)
Buna göre \( b \) sayısının son basamağındaki rakam 6 olur.
\( (..7)^{4n + 1} = (....7) \)
\( 37^1 = 37^{17} = (....7) \)
\( 37^{18} = (....9) \)
\( 37^{19} = (....3) \)
Buna göre \( c \) sayısının son basamağındaki rakam 3 olur.
Sayıların son basamaklardaki rakamların çarpımı \( 1 \cdot 6 \cdot 3 = 18 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin