Her Doğal Sayı Bir Rasyonel Sayı Mıdır

• Doç. Dr. Tolga Kabaca

“Kesir ile rasyonel sayı arasında ne fark/ilişki vardır?”, “Her kesir bir rasyonel sayı mıdır?”, “Her rasyonel sayı bir kesir midir?” gibi sorulara sıklıkla “pay ve payda aralarında asal olduğunda rasyonel sayı, asal olmadığında kesir denir”, “rasyonel sayı negatif olabilir ama kesir negatif olamaz” gibi cevaplar verildiğini duyuyorum. Bu cevapların “masum” da olsa keskin bir değerlendirme ile “yanlış” olduğunu ve doğru yaklaşımın nasıl olması gerektiğini matematiksel tanımlar ışığında açıklamaya çalışacağım. Bunu yaparken bir miktar matematiğin doğasından da bahsedecek ve tabii ki matematik eğitimi ile ilişkilendireceğim.

Yukarıda “yanlış” olarak değerlendirdiğim iki cevabın birbiri ile nasıl çeliştiğini inceleyerek başlayalım. Bir an için “pay ve paydanın aralarında asal olduğu duruma rasyonel sayı, olmadığı duruma kesir dendiği” ve “kesirlerin negatif olamayacağı ama rasyonel sayıların negatif olabileceği” düşüncelerinin doğru olduğunu varsayalım. Buna göre -6/4 için ne diyeceksiniz? Kesir olamaz çünkü kesirler negatif olamıyordu. Rasyonel sayı da olamaz çünkü pay ve payda aralarında asal değil.

Sorun sanırım matematiğin doğal gelişim sürecine yeterince itibar etmemekten kaynaklanıyor. Matematiksel kavramlar çoğunlukla bir ihtiyaç ve bir bağlam etrafında şekillenerek yeşermeye başlıyor. Rasyonel sayılar da sayıların ölçme rolünde kullanılması ile tarih sahnesine çıkmaya başlıyor (detaylar için Rasyonel Olmayan Ölçüler başlıklı yazıma göz atabilirsiniz).

Tabii, henüz negatif sayılara itibar edilmediği için rasyonel sayıların en önemli temsillerinden olan parça-bütün ilişkisinin rolü ön planda. Bir bütünü k parçaya ayırıp m parçasını alma fikri ilk olarak “kesir” diye isimlendirdiğimiz kavram ile tanışmamızı sağlıyor. Kesir Arapça bir kelime ve “parçalamak”, “küçültmek” gibi anlamları var. Tarihsel gelişimi uzatmadan konumuza dönmeye çalışacağım.

Matematiğin doğasında soyutlama var. Bir kavram bahsettiğimiz gibi sebeplerle yeşerse de matematikçiler kavramı bağlamından sıyırıp soyut bir şekilde tanımlama gayreti içinde oluyorlar. Bu sayede kavram en işlevsel halini alıyor. Tarih sahnesine çıkış sebebinden daha farklı uygulama alanları da bulabiliyor. Kesir ve rasyonel sayı kavramları için de benzer bir süreç söz konusu. 11. yüzyılda Ömer Hayyam kesiri “iki sayının birbirine bölümü” olarak tanımlıyor. Dikkat ederseniz parça, bütün vs ifadeleri kullanılmıyor.

Bu şekilde tanımlama çabası matematikçilerin önemli bir refleksi. Bildiğiniz gibi günümüzde matematik aksiyomatik bir sistem olarak kurgulanmış, yani kitabı yazılmış durumda. Aksiyomatik sistem de “birbirleri ile çelişmeyen tanımlar, tanımsız terimler, önermeler topluluğu” olarak tanımlanabilir. Tabii ki bir aksiyomatik sistem birileri tarafından rüyada görerek kurgulanmıyor. Kendisinden önceki tüm bilgi ve uygulamalarla çelişmemesi gerekiyor.

Ancak bu sayede kabul görür hale geliyor ve Galileo tarafından “kainatın dili” olarak tanımlanan matematik kitabı zamanla şekilleniyor.

Biz, özellikle ortaokul ve öncesi çağdaki öğrencilere, literatüre “okul matematiği” diye geçmiş bir matematik anlatıyoruz. Okul matematiği de kavramların çoğunlukla bağlam çevresinde şekillendirildiği çağların matematiği. Zira, aynen matematiğin doğal gelişimindeki gibi acemi bir zihin ancak bu şekilde matematiksel kavramları kabullenebiliyor. Ama çok dikkatli olmamız gereken bir nokta var ki,  o da “bu çağlardaki öğrencilere ileride öğrenecekleri ile çelişen bilgiler vermemek”. En azından, öğretmenlerin bu konuda hassas ve bilgece davranması önemli.

Kesir ve rasyonel sayı kavramlarını ortaokul öğrencilerine tanıtma yaklaşımlarında sorun yok, sorun bu konuda hassas davranmayan öğretmenlerin kişisel yorumları ile (belki bu çağlarda zararsız) gelecek için hatalı mesajlar vermelerinde yatıyor. Ben kesir ve rasyonel sayı kavramlarının formal ve bağlamdan sıyrılmış tanımlarını, kişisel önerilerimle ilişkilendirerek verip gerisini matematik öğretmede hassas ve bilge öğretmenlere bırakacağım.

Kesir, a ve b birer tam sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere (a, b) sıralı ikililerinden oluşan bir kümenin her bir elemanına verilen isimdir ve bu sıralı ikililer a/b şeklinde de gösterilir.

Bu tanıma göre ½, -3/4, 6/7, 12/4 gibi yazılacak tüm ifadeler birer kesirdir. Ömer Hayyam’ın 11. Yüzyılda yaptığı tanım büyük ölçüde korunmuş dikkat ederseniz. İşin içine sadece “sıralı ikili” kavramı girmiş.

Kesirlerden oluşan küme üzerinde “(a, b) denktir (c, d) ancak ve ancak a.d = b.c” şeklinde tanımlanan bağıntı bir denklik bağıntısıdır ve bu denklik bağıntısına göre elde edilecek her bir denklik sınıfına rasyonel sayı denir.

Yani rasyonel sayı bir denklik sınıfıdır. Kesir bir rasyonel sayı olmadığı gibi, rasyonel sayı da bir kesir değildir. Her bir denklik sınıfından alınan birer temsilci ile temsilciler sınıfı oluşturabiliriz. Bu temsilciler sınıfına rasyonel sayılar kümesi diyebilirsiniz.

Örneğin, {1/2, 2/4, 6/12, 9/18, . . . } ve {-2/3, -4/6, -10/15, . . .} birbirlerine denk olan kesirlerden oluşmuş iki ayrı denklik sınıfıdır. Bu sınıflara rasyonel sayı denir. Buna benzer şekilde farklı denklik sınıflarından birer temsilci seçmek istediğinizde, aynı denklik sınıfından iki eleman seçmemek şartı ile istediğinizi seçebilirsiniz. Bu seçimde pay ve paydası aralarında asal olanı tercih etmek önerilir.

Görüldüğü gibi, aslında iki farklı türde kavramı kıyaslamaya çalışmaktan dolayı bir çıkmaza giriliyor. Tabii ki öğrencilerimiz karşısında “denklik sınıfı” gibi kavramları kullanacak değiliz. Sadece parça-bütün ilişkisi ile kesir kavramı tanıştırıldığında tabii ki negatif kesirlerden bahsedemiyoruz. Ama rahat olun! Matematik tarihinde de böyle olmuştur. Negatif sayıların varlığı uzun süre tartışma konusu olmuş ve bunu “saçma” diye yorumlayan matematikçiler olmuştur. Kesirlerin bir de sayı temsili olduğunu ve bunları sayı doğrusu üzerinde gösterebildiğimizi anlatacağımız aşama geldiğinde negatifleri de işaretleyip {1/2, 2/4, 6/12, 9/18, . . . } veya {-2/3, -4/6, -10/15, . . .} gibi birbirine denk olan kesirlerin sayı doğrusu üzerinde aynı sayıyı temsil ettiğini ve buna da rasyonel sayı dendiğini, bu rasyonel sayının payı ve paydası aralarında asal olan kesir ile temsil etmenin iyi bir seçim olduğunu söylemeyi öneriyorum.