Cos Değer Aralığı

cos değer aralığı

Trigonometri

I. AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

A. AÇI

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir.

B. YÖNLÜ AÇI

Bir açının kenarlarından birini, başlangıç kenarı; diğerini bitim kenarı olarak aldığımızda elde edilen açıya yönlü açı denir.

Açılar adlandırılırken önce başlangıç, sonra bitim kenarı yazılır.

Kural

Açının köşesi etrafında, başlangıç kenarından bitim kenarına iki türlü gidilebilir. Bunlardan biri saatin dönme yönünün tersi, ikincisi ise saatin dönme yönünün aynısıdır.

Saatin dönme yönünün; tersi olan yöne pozitif yön, aynı olan yöne negatif yön denir.

Açıların yönü ok yardımıyla belirlenir.

C. YÖNLÜ YAYLAR

O merkezli çemberde

ile bu açının iç bölgesindeki noktaların kümesinin O merkezli çemberle kesişimi AB yayıdır. AB yayı,

biçiminde gösterilir.

nın yönü olarak, AOB açısının yönü alınır. şekildeki AOB açısının yönü pozitif olduğundan, da pozitif yönlüdür.

Pozitif yönlü AB yayında A ya yayın başlangıç noktası, B ye yayın bitim noktası denir.

D. BİRİM ÇEMBER

Analitik düzlemde merkezi O(0, 0) (orijin) ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim (trigonometrik) çember denir.

Birim çemberin denklemi:

x² + y² = 1dir.

E. AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ

Bir açının ölçüsünün büyüklüğünü veya küçüklüğünü tanımlamak için, bir ölçü birimi tanımlanmalıdır. Açıyı ölçmek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir.

Genellikle iki birim kullanılır. Bunlar; derece ve radyandır.

1. Derece

Bir tam çember yayının eş parçasından birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir. Ve 1° ile gösterilir.

2. Radyan

Yarıçap uzunluğuna eşit uzunluktaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.

Uyarı

Birim çemberin çevresi ° veya 2p radyan olduğu için, ° = 2p radyan dır.

Kural

Derece D ile radyan R ile gösterilirse,

F. ESAS ÖLÇÜ

olmak üzere, birim çember üzerinde a açısı ile
a + k × ° açısı aynı noktaya karşılık gelmektedir. Buna göre,

olmak üzere, ölçüsü

a + k × °

olan açının esas ölçüsü a derecedir.

Açının birimi ne olursa olsun, esas ölçü negatif yönlü olamaz. Diğer bir ifadeyle esas ölçü [0°, °) aralığındadır.

Derece cinsinden verilen pozitif açılarda, açı ° ye bölünür. Elde edilen kalan esas ölçüdür.

Derece cinsinden verilen negatif yönlü açılarda, açının mutlak değeri ° ye bölünür; kalan ° den çıkarılarak esas ölçü bulunur.

Radyan cinsinden verilen açılarda açının içerisinden 2p nin katları atılır. Geriye kalan esas ölçüdür.

Radyan cinsinden verilen negatif yönlü açıların esas ölçüsü bulunurken, verilen açı pozitif yönlü açı gibi düşünülerek esas ölçü bulunur. Bulunan değer 2p den çıkarılır.

nin esas ölçüsü aşağıdaki yolla da bulunabilir. a sayısı b nin 2 katına bölünür. Kalan p nin kat sayısı olarak paya yazılır payda aynen yazılır.
a nın b nin 2 katına bölümünden kalan k ise nin esas ölçüsü dir.

II. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

A. KOSİNÜS FONKSİYONU

Bir x reel sayısını cosx e dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olmak üzere, P noktasının apsisine, a reel (gerçel) sayısının kosinüsü denir ve cosa ile gösterilir.

x = cosa dır.

Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı), [–1, 1] dir. Yani, her için,

–1 £ cosa £ 1 dir.

B. SİNÜS FONKSİYONU

Bir x reel sayısını sinx e dönüştüren fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olsun. P noktasının ordinatına, a reel (gerçel) sayısının sinüsü denir ve sina ile gösterilir.

y = sina

Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı), [–1, 1] dir. Yani, her için,

–1 £ sina£ 1 dir.

Sonuç

şekilde,

A(1, 0) olduğundan, cos0° = 1 ve sin0° = 0 dır.

B(0, 1) olduğundan, cos90° = 0 ve sin90° = 1 dir.

C(–1, 0) olduğundan, cos° = –1 ve sin° = 0 dır.

D(0, –1) olduğundan, cos° = 0 ve sin° = –1 dir.

Kural

şekilde,

x = cosa, y = sina

kaynağı değiştir]

Yukarıda ifade edilenlerle birlikte, daha önce hiç duymamış olabileceğiniz ek trigonometrik fonksiyon aileleri vardır. Bunlar şunları içerir: Versine, Vercosine, Coversine, Covercosine, Exsecant, Excosecant, Haversine, Havercosine, Hacoversine, Hacovercosine.

Bunlar, temel üç trigonometrik fonksiyonun temel kombinasyonları için basit isimler olup özdeşlikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Fonksiyon	Kısaltma	Özdeşlik
Versinüs	versin(θ)	1 – cos(θ)
Verkosinüs	vercosin(θ)	1 + cos(θ)
Koversinüs	coversin(θ)	1 – sin(θ)
Koverkosinüs	covercosin(θ)	1 + sin(θ)
Ekssekant	exsec(θ)	sec(θ) – 1
Ekskosekant	excsc(θ)	csc(θ) – 1
Haversinüs	haversin(θ)	versin(θ)/2
Haverkosinüs	havercosin(θ)	vercosin(θ)/2
Hakoversinüs	hacoversin(θ)	coversin(θ)/2
Hakoverkosinüs	hacovercosin(θ)	covercosin(θ)/2

Birim çemberde tanımlar[değiştir
Trigonometrik İfadelerin Değer Aralığı
SORU 1:
\( 2A - 3 \cos{x} + 4 = 0 \) olmak üzere, \( A \)'nın değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
Eşitlikte \( A \)'yı yalnız bırakalım.
\( 2A - 3 \cos{x} + 4 = 0 \)
\( A = \dfrac{3 \cos{x} - 4}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu değer aralığından başlayarak adım adım \( A \) ifadesinin değer aralığını bulalım.
Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \cos{x} \le 1 \)
Tüm tarafları 3 ile çarpalım.
\( -3 \le 3\cos{x} \le 3 \)
Tüm taraflardan 4 çıkaralım.
\( -7 \le 3\cos{x} - 4 \le -1 \)
Tüm tarafları 2'ye bölelim.
\( -\dfrac{7}{2} \le \dfrac{3\cos{x} - 4}{2} \le -\dfrac{1}{2} \)
Eşitsizliğin ortasındaki ifade \( A \)'ya eşittir.
\( -\dfrac{7}{2} \le A \le -\dfrac{1}{2} \) bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( 2\sin^2{x} + 3\cos^2{x} = 4a + 2 \) olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değer aralığını bulunuz.
Çözümü Göster
Kosinüs ifadesini iki terime ayıralım.
\( 2\sin^2{x} + 2\cos^2{x} + \cos^2{x} = 4a + 2 \)
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.
\( 2 + \cos^2{x} = 4a + 2 \)
\( 4a = \cos^2{x} \)
\( a = \dfrac{\cos^2{x}}{4} \)
Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \cos{x} \le 1 \)
Negatif değerlerin karesi pozitif olduğu için kosinüs fonksiyonunun karesi \( [0, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( 0 \le \cos^2{x} \le 1 \)
Tüm tarafları 4'e bölelim.
\( 0 \le \dfrac{\cos^2{x}}{4} \le \dfrac{1}{4} \)
Eşitsizliğin ortasındaki ifade \( a \)'ya eşittir.
\( 0 \le a \le \dfrac{1}{4} \) bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( \tan^2{\alpha} + \cot^2{\alpha} \) ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( (\tan{\alpha} - \cot{\alpha})^2 = \tan^2{\alpha} + \cot^2{\alpha} - 2 \cdot \tan{\alpha} \cdot \cot{\alpha} \)
\( = \tan^2{\alpha} + \cot^2{\alpha} - 2 \)
\( (\tan{\alpha} - \cot{\alpha})^2 \) ifadesinin en küçük değeri \( \alpha = \frac{\pi}{4} \) için 0 olur, ifade iki tam kare ifadenin toplamı olduğu için toplam negatif olamaz.
\( \tan^2{\alpha} + \cot^2{\alpha} - 2 \ge 0 \)
\( \tan^2{\alpha} + \cot^2{\alpha} \ge 2 \)
Buna göre \( \tan^2{\alpha} + \cot^2{\alpha} \) ifadesinin en küçük değeri 2'dir.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( f(x) = \dfrac{9\sin(2x) + 5}{2} \)
\( \dfrac{1}{3 + f(x)} \) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Sinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \sin(2x) \le 1 \)
Adım adım verilen ifadenin değer aralığını bulalım.
\( -9 \le 9\sin(2x) \le 9 \)
\( -4 \le 9\sin(2x) + 5 \le 14 \)
\( -2 \le \dfrac{9\sin(2x) + 5}{2} \le 7 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( -2 \le f(x) \le 7 \)
Sorudaki ifadenin değer aralığını bulalım.
\( 1 \le f(x) + 3 \le 10 \)
Bir eşitsizlikte tarafların çarpmaya göre tersini alırsak eşitsizlik yön değiştirir.
\( \dfrac{1}{10} \le \dfrac{1}{3 + f(x)} \le 1 \)
O halde verilen ifadenin alabileceği en küçük değer \( \frac{1}{10} \) olarak bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( f(x) = 3\sin{x} + 4\cos{x} \) veriliyor.
Aşağıdaki ifadelerin değer aralıklarını bulunuz.
(1) \( f^2(x) \)
(2) \( \dfrac{f(x) + 7}{2} \)
(3) \( 1 - 2f^2(x) \)
Çözümü Göster
\( a\sin{x} + b\cos{x} \) formundaki bir ifadenin değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( -\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin{x} + b\cos{x} \le \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( f(x) \) fonksiyonunun değer aralığını bulalım.
\( -\sqrt{3^2 + 4^2} \le f(x) \le \sqrt{3^2 + 4^2} \)
\( -5 \le f(x) \le 5 \)
1. Soru: \( f^2(x) \)
\( f(x) \) değer aralığı eşitsizliğinde tarafların karesini alalım.
\( 0 \le f^2(x) \le 25 \)
2. Soru: \( \dfrac{f(x) + 7}{2} \)
\( f(x) \) değer aralığı eşitsizliğinde taraflara 7 ekleyelim.
\( 2 \le f(x) + 7 \le 12 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2'ye bölelim.
\( 1 \le \dfrac{f(x) + 7}{2} \le 6 \)
3. Soru: \( 1 - 2f^2(x) \)
\( f^2(x) \) değer aralığı eşitsizliğinde tarafları -2 ile çarpalım.
\( \le -2f(x) \le 0 \)
Eşitsizliğin taraflarına 1 ekleyelim.
\( \le 1 - 2f^2(x) \le 1 \)
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( f(x) = 12\sin{x} + 5\cos{x} - 3 \)
ifadesinin alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster
\( a\sin{x} + b\cos{x} \) formundaki bir ifadenin değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( -\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin{x} + b\cos{x} \le \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( f(x) \) fonksiyonunun değer aralığını bulalım.
\( 12\sin{x} + 5\cos{x} = A \) diyelim.
\( -\sqrt{12^2 + 5^2} \le A \le \sqrt{12^2 + 5^2} \)
\( -\sqrt{} \le A \le \sqrt{} \)
\( \le A \le 13 \)
Eşitsizliğin taraflarından 3 çıkardığımızda \( f(x) \) tanımını elde ederiz.
\( \le A - 3 \le 10 \)
\( \le f(x) \le 10 \)
\( f(x) \) fonksiyonunun alabileceği tam sayı değer sayısı terim sayısı bulma formülü ile \( \dfrac{10 - ()}{1} + 1 = 27 \) olarak bulunur.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( f(x) = 2\csc{x} + 5 \) fonksiyonunun alamayacağı tam sayı değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster
Kosekant ifadesini sinüs cinsinden yazalım.
\( f(x) = \dfrac{2}{\sin{x}} + 5 \)
Sinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \sin{x} \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( \dfrac{1}{\sin{x}} \le -1 \) ya da \( \dfrac{1}{\sin{x}} \ge 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( \dfrac{2}{\sin{x}} \le -2 \) ya da \( \dfrac{2}{\sin{x}} \ge 2 \)
Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.
\( \dfrac{2}{\sin{x}} + 5 \le 3 \) ya da \( \dfrac{2}{\sin{x}} + 5 \ge 7 \)
\( f(x) \le 3 \) ya da \( f(x) \ge 7 \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonu \( \{4, 5, 6\} \) değerlerini alamaz.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( f(x) = 5^{\sin(5x)} + 2 \) fonksiyonunun alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.
Çözümü Göster
Sinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \sin{x} \le 1 \)
\( -1 \le \sin(5x) \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarının 5 tabanında üssünü yazalım.
\( 5^{-1} \le 5^{\sin(5x)} \le 5^1 \)
\( \dfrac{1}{5} \le 5^{\sin(5x)} \le 5 \)
Eşitsizliğin taraflarına 2 ekleyelim.
\( \dfrac{11}{5} \le 5^{\sin(5x)} + 2 \le 7 \)
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonu \( \{3, 4, 5, 6, 7\} \) tam sayı değerlerini alabilir.
Soru sorun   Soruda hata bildirin
nest...
185967 185968 185969 185970 185971

batman iftar saati 2021 viranşehir kaç kilometre seferberlik ne demek namaz nasıl kılınır ve hangi dualar okunur özel jimer anlamlı bayram mesajı maxoak 50.000 mah powerbank cin tırnağı nedir

© 2024 Toko Cleax. Seluruh hak cipta.