SORU 1:
\( 3x^2 - (p - 2)x + k + 4 = 0 \) denkleminin kökleri -2 ve 3 olduğuna göre \( p \cdot k \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
\( x_1 = -2 \) ve \( x_2 = 3 \) ise denklemin kökler toplamı ve çarpımını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( -2 + 3 = -\dfrac{-(p - 2)}{3} \)
\( p - 2 = 3 \)
\( p = 5 \)
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)
\( -2 \cdot 3 = \dfrac{k + 4}{3} \)
\( k + 4 = \)
\( k = \)
\( p \cdot k = 5 \cdot () = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( 3x^2 - (2m - 1)x + 1 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Bu denklemin kökleri arasında \( x_1^2 \cdot x_2 + x_2^2 \cdot x_1 = 3 \) bağıntısı olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen bağıntıyı çarpanlarına ayıralım.
\( x_1^2 \cdot x_2 + x_2^2 \cdot x_1 = x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2) = 3 \)
Bu ifade kökler çarpımı ile toplamının çarpımına eşittir.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(2m - 1)}{3} \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{3} \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2m - 1}{3} = 3 \)
\( 2m - 1 = 27 \)
\( m = 14 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( x^2 + (m + 2)x + 16 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olmak üzere, her iki kök de pozitiftir.
\( x_1 = x_2^3 \) olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 16 \)
Bu ifadede \( x_1 = x_2^3 \) yazalım.
\( x_1 \cdot x_1^3 = x_1^4 = 16 \)
Her iki kök de pozitiftir.
\( x_1 = 2 \)
Denklemin kökleri eşitliği sağlayacağı için denklemde \( x = 2 \) yazalım.
\( 2^2 + (m + 2) \cdot 2 + 16 = 0 \)
\( 4 + 2m + 4 + 16 = 0 \)
\( m = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( (m + 1)x^2 + (m - 2)x - 24m = 0 \) denkleminin simetrik iki kökü bulunduğuna göre denklemin kökleri nedir?
Çözümü Göster
Denklemin simetrik iki kökü varsa kökler toplamı sıfır olur.
\( x_1 = -x_2 \Longrightarrow x_1 + x_2 = 0 \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = 0 \)
\( -\dfrac{m - 2}{m + 1} = 0 \)
\( m = 2 \)
Denklemde \( m = 2 \) yazalım.
\( (2 + 1)x^2 + (2 - 2)x - 24 \cdot 2 = 0 \)
\( 3x^2 - 48 = 0 \)
\( 3(x - 4)(x + 4) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{-4, 4\} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( x^2 - 4x + m - 7 = 0 \) denkleminin kökleri,
\( x^2 - 2x + m + 2 = 0 \) denkleminin köklerinin ikişer katı olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
2. denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
1. denklemin kökleri \( 2x_1 \) ve \( 2x_2 \) olur.
2. denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{m + 2}{1} = m + 2 \)
1. denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( 2x_1 \cdot 2x_2 = \dfrac{m - 7}{1} = m - 7 \)
\( 4x_1 \cdot x_2 = m - 7 \)
\( 4(m + 2) = m - 7 \)
\( 4m + 8 = m - 7 \)
\( m = -5 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( ax^2 + (b + 2)x - 4 = 0 \) ve
\( 3x^2 - 2x + 1 = 0 \)
denklemlerinin çözüm kümeleri aynı olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci dereceden iki denklemin çözüm kümeleri aynı ise denklemlerin katsayılarının oranı birbirine eşittir.
\( \dfrac{a}{3} = \dfrac{b + 2}{-2} = \dfrac{-4}{1} \)
\( a = -4 \cdot 3 = \)
\( b + 2 = -4 \cdot (-2) = 8 \)
\( b = 6 \)
\( a + b = + 6 = -6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
Köklerinden biri \( 4 + \sqrt{3} \) olan reel katsayılı ikinci dereceden denklem nedir?
Çözümü Göster
İkinci dereceden reel katsayılı bir denklemin köklerinden biri \( a + \sqrt{b} \) formunda ise diğer kök bu kökün eşleniği olur.
\( x_1 = 4 + \sqrt{3} \)
\( x_2 = 4 - \sqrt{3} \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = x_1 + x_2 = 4 + \sqrt{3} + 4 - \sqrt{3} = 8 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = x_1 \cdot x_2 = (4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 13 \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - 8x + 13 = 0 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( x^2 - (4m - 2)x + 6m = 0 \)
denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması \( -4 \) olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
Denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) ise aritmetik ortalaması \( \frac{x_1 + x_2}{2} \) olur.
\( \dfrac{x_1 + x_2}{2} = -4 \)
\( x_1 + x_2 = -8 \)
Denklemin kökler toplamı formülünü yazalım.
\( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(4m - 2)}{1} = -8 \)
\( 4m - 2 = -8 \)
\( m = -\dfrac{3}{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( 3x^2 - (3m - 2)x + k = 0 \)
denkleminin köklerinin üçer katının birer eksiğini kök kabul eden denklem \( x^2 - (2m + 1)x + p = 0 \) olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
1. denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(3m - 2)}{3} \)
2. denklemin kökleri \( 3x_1 - 1 \) ve \( 3x_2 - 1 \) olur.
\( (3x_1 - 1) + (3x_2 - 1) = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(2m + 1)}{1} \)
\( 3x_1 + 3x_2 - 2 = 2m + 1 \)
\( 3(x_1 + x_2) = 2m + 3 \)
Kökler toplamı yerine 1. denklem için bulduğumuz değeri yazalım.
\( 3 \cdot \dfrac{3m - 2}{3} = 2m + 3 \)
\( 3m - 2 = 2m + 3 \)
\( m = 5 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x^2 + 2(m - 1)x + 3m - 5 = 0 \)
denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin kökleri çakışık ise denklemin deltası sıfıra eşit olur.
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( a = 1, \quad b = 2(m - 1), \quad c = 3m - 5 \)
\( (2m - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3m - 5) = 0 \)
\( 4m^2 - 8m + 4 - 12m + 20 = 0 \)
\( 4m^2 - 20m + 24 = 0 \)
\( m^2 - 5m + 6 = 0 \)
\( m \)'nin alabileceği değerlerin toplamı bu denklemin kökler toplamına eşittir.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{-5}{1} = 5 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 3x^2 - ( m^2 - 6m + 5)x - 4 = 0 \)
denkleminin kökleri simetrik olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci dereceden denklemin kökleri simetrik ise kökler toplamı sıfır olur.
\( x_1 = -x_2 \Longrightarrow x_1 + x_2 = 0 \)
\( x_1 + x_2 = - \dfrac{b}{a} = 0 \)
\( -\dfrac{-(m^2 - 6m + 5)}{3} = 0 \)
\( m^2 - 6m + 5 = 0 \)
\( m \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı bu denklemin kökler çarpımına eşittir.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{5}{1} = 5 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x^2 + 7x - 6 + k = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
\( 3 \lt m \lt 7 \) olduğuna göre, \( n \)'nin değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = 7, \quad c = -6 + k \)
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{7}{1} = -7 \)
\( m = -7 - n \)
Verilen eşitsizlikte \( m \) yerine \( -7 - n \) yazalım.
\( 3 \lt -7 - n \lt 7 \)
Eşitsizliğin taraflarını 7 ile toplayalım.
\( 10 \lt -n \lt 14 \)
Eşitsizlik taraflarını \( -1 \) ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( \lt n \lt \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( (x^2 + 3x)^2 + 6x^2 + 18x + 5 = 0 \) denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
\( (x^2 + 3x)^2 + 6(x^2 + 3x) + 5 = 0 \)
\( x^2 + 3x = t \) şeklinde değişken değiştirme yapalım.
\( t^2 + 6t + 5 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (t - 1)(t - 5) = 0 \)
\( t \) yerine \( x^2 + 3x \) yazalım.
\( (x^2 + 3x - 1)(x^2 + 3x - 5) = 0 \)
Bu denklemin kökleri her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.
1. denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-1}{1} = -1 \)
2. denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_3 \cdot x_4 = \dfrac{-5}{1} = -5 \)
İki denklemin de deltaları 0'dan büyük olduğu için reel ve birbirinden farklı 2'şer kökü vardır.
Denklemlerin ortak kökü olmadığını denklemleri ortak çözerek teyit edebiliriz.
\( x^2 + 3x - 1 = x^2 + 3x - 5 \)
\( -1 \ne -5 \)
Buna göre denklemlerin toplam dört farklı reel kökünün çarpımı \( (-5) \cdot (-1) = 5 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{x^2 - 5xy + y^2}{y^2} = 4 \)
olduğuna göre, \( \frac{x}{y} \) ifadesinin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Paydaki ifadeyi üç terime dağıtalım.
\( \dfrac{x^2}{y^2} - \dfrac{5xy}{y^2} + \dfrac{y^2}{y^2} = 4 \)
\( (\dfrac{x}{y})^2 - 5(\dfrac{x}{y}) - 3 = 0 \)
\( \dfrac{x}{y} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 5t - 3 = 0 \)
\( t = \frac{x}{y} \) ifadesinin alabileceği değerler toplamı denklemin kökler toplamına eşittir.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-5}{1} = 5 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( m \) sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere,
\( x^2 - (5m - 2n)x + 8m = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Buna göre \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -(5m - 2n), \quad c = 8m \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( m \cdot n = \dfrac{c}{a} = \dfrac{8m}{1} \)
\( n = 8 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(5m - 2n)}{1} \)
\( m + 8 = 5m - 16 \)
\( 4m = 24 \)
\( m = 6 \)
\( m + n = 6 + 8 = 14 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x^2 - 7x + 6 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Buna göre, \( x_1^2 + x_2^2 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci dereceden denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -7, \quad c = 6 \)
\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \)
\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-7}{1} = 7 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{1} = 6 \)
Bulduğumuz değerleri değeri sorulan ifadede yerine koyalım.
\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)
\( = 7^2 - 2 \cdot 6 \)
\( = 37 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x^2 + bx + c = 0 \) denkleminin bir kökü \( 3 \)
\( x^2 - mx + 2n = 0 \) denkleminin bir kökü \( 2 \)'dir.
İki denklemin birer kökü birbirine eşit olduğuna göre, \( m + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( x^2 + bx + c = 0 \)
1. denklemin köklerine \( x_1 = 3 \) ve \( x_3 \) diyelim.
1. denklemin kökler toplamını bulalım.
\( 3 + x_3 = -\dfrac{b}{1} = -b \)
\( x^2 - mx + 2n = 0 \)
2. denklemin köklerine \( x_2 = 2 \) ve \( x_3 \) diyelim.
2. denklemin kökler toplamını bulalım.
\( 2 + x_3 = -\dfrac{-m}{1} = m \)
İkinci kökler toplamı eşitliğinden birinci eşitliği çıkaralım.
\( m - (-b) = 2 - 3 \)
\( m + b = -1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( ax^2 - 5x + 1 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Buna göre, \( x_1 \)'in \( x_2 \) cinsinden eşitini bulunuz.
Çözümü Göster
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{-5}{a} = \dfrac{5}{a} \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{1}{a} \)
Buna göre denklemin kökler toplamı kökler çarpımının 5 katıdır.
\( x_1 + x_2 = 5x_1 \cdot x_2 \)
\( x_1 - 5x_1 \cdot x_2 = -x_2 \)
\( x_1(1 - 5x_2) = -x_2 \)
\( x_1 = \dfrac{-x_2}{1 - 5x_2} = \dfrac{x_2}{5x_2 - 1} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x^2 - 3x + 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Bu köklerin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü Göster
\( x_2 - 3x + 2 = 0 \)
Denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = 2 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = 3 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 2 \)
Soruda istenen, kökleri \( \dfrac{1}{x_1} \) ve \( \dfrac{1}{x_2} \) olan ikinci dereceden denklemdir.
Yeni denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{3}{2} \)
Yeni denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{1}{2} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2} = 0 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x^2 - 3x - 5 = 0 \) denkleminin kökleri \( a \) ve \( b \)'dir.
Buna göre kökleri \( 2 - 3a \) ve \( 2 - 3b \) olan denklem nedir?
Çözümü Göster
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a + b = -\dfrac{-3}{1} = 3 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( ab = \dfrac{-5}{1} = -5 \)
İstenen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = (2 - 3a) + (2 - 3b) = 4 - 3(a + b) \)
\( = 4 - 3 \cdot 3 = -5 \)
İstenen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = (2 - 3a) \cdot (2 - 3b) = 4 - 6(a + b) + 9ab \)
\( = 4 - 6 \cdot 3 + 9 \cdot (-5) = \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - (-5)x + () = 0 \)
\( x^2 + 5x - 59 = 0 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
İki öğrenci ikinci dereceden \( x^2 - ax + b = 0 \) denkleminin köklerini bulmaya çalışıyor.
Birinci öğrenci denklemi yanlış \( a \) değeri ile çözmeye başlıyor ve kökleri \( -3 \) ve \( \) olarak buluyor. İkinci öğrenci ise denklemi yanlış \( b \) değeri ile çözmeye başlıyor ve kökleri \( 6 \) ve \( 8 \) olarak buluyor.
Buna göre denklemin doğru kökleri nedir?
Çözümü Göster
Birinci öğrenci \( b \) değerini doğru kullandığı için bulduğu köklerin çarpımı gerçek denklemin kökler çarpımına eşit olmalıdır.
\( \dfrac{b}{1} = b = -3 \cdot () = 45 \)
İkinci öğrenci \( a \) değerini doğru kullandığı için bulduğu köklerin toplamı gerçek denklemin kökler toplamına eşit olmalıdır.
\( -\dfrac{-a}{1} = a = 6 + 8 = 14 \)
\( a = 14 \)
Buna göre denklemin doğru şekli aşağıdaki gibidir.
\( x^2 - ax + b = 0 \)
\( x^2 - 14x + 45 = 0 \)
\( (x - 5)(x - 9) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{5, 9\} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( k \in \mathbb{R}, k \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^2 - kx + 3k^3 = 0 \) denklemin kökleri \( \alpha \) ve \( \beta \)'dır.
Kökleri \( \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \) ve \( \frac{\beta}{\alpha + \beta} \) olan ikinci dereceden denklemi \( k \) cinsinden yazınız.
Çözümü Göster
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -k, \quad c = 3k^3 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{(-k)}{1} = k \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3k^3}{1} = 3k^3 \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} + \dfrac{\beta}{ \alpha + \beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha + \beta} \)
\( = 1 \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \cdot \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} = \dfrac{\alpha \cdot \beta}{(\alpha + \beta)^2} \)
\( = \dfrac{3k^3}{k^2} = 3k \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - x + 3k = 0 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 3x^2 - 4x + 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( \alpha \) ve \( \beta \)'dır.
Kökleri \( 5\alpha - 2\beta \) ve \( 5\beta - 2\alpha \) ve katsayıları tamsayı olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 3, \quad b = -4, \quad c = 2 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{(-4)}{3} = \dfrac{4}{3} \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3} \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = (5\alpha - 2\beta) + (5\beta - 2\alpha) = 3\alpha + 3\beta \)
\( = 3(\alpha + \beta) = 3 \cdot \dfrac{4}{3} = 4 \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = (5\alpha - 2\beta) \cdot (5\beta - 2\alpha) \) \( = 29\alpha \cdot \beta - 10(\alpha^2 + \beta^2) \)
\( = 29\alpha \cdot \beta - 10((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) \)
\( \alpha \cdot \beta \) ve \( \alpha + \beta \) değerlerini yerine koyalım.
\( = 29 \cdot \dfrac{2}{3} - 10((\dfrac{4}{3})^2 - 2 \cdot \dfrac{2}{3}) \)
\( = \dfrac{58}{3} - 10(\dfrac{16}{9} - \dfrac{12}{9}) \)
\( = \dfrac{}{9} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - 4x + \dfrac{}{9} = 0 \)
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 9 ile çarpalım.
\( 9x^2 - 36x + = 0 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 2x^2 + 6x + 7 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Kökleri \( 4 - m^2 \) ve \( 4 - n^2 \) ve katsayıları tamsayı olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 2, \quad b = 6, \quad c = 7 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{2} = -3 \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{7}{2} \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = (4 - m^2) + (4 - n^2) = 8 - (m^2 + n^2 \))
\( = 8 - [(m + n)^2 - 2mn] \)
\( = 8 - [(-3)^2 - 2 \cdot \dfrac{7}{2}] \)
\( = 6 \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = (4 - m^2)(4 - n^2) \) \( = 16 - 4m^2 - 4n^2 + (mn)^2 \)
\( = 16 - 4[(m + n)^2 - 2mn] + (mn)^2 \)
\( = 16 - 4[(-3)^2 - 2 \cdot \dfrac{7}{2}] + ( \dfrac{7}{2})^2 \)
\( = \dfrac{81}{4} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - 6x + \dfrac{81}{4} = 0 \)
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 4 ile çarpalım.
\( 4x^2 - 24x + 81 = 0 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 4x^2 + 8x + 3 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Kökleri \( \frac{m^2}{n} \) ve \( \frac{n^2}{m} \) ve katsayıları tamsayı olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü Göster
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 4, \quad b = 8, \quad c = 3 \)
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{8}{4} = -2 \)
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{4} \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = \dfrac{m^2}{n} + \dfrac{n^2}{m} = \dfrac{m^3 + n^3}{mn} \)
\( = \dfrac{(m + n)(m^2 - mn + n^2)}{mn} \)
\( = \dfrac{(m + n)(m^2 + 2mn + n^2 - 3mn)}{mn} \)
\( = \dfrac{(m + n)((m + n)^2 - 3mn)}{mn} \)
\( = \dfrac{(-2)((-2)^2 - 3 \cdot \frac{3}{4})}{\frac{3}{4}} \)
\( = -\dfrac{14}{3} \)
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = \dfrac{m^2}{n} \cdot \dfrac{n^2}{m} = mn \)
\( = \dfrac{3}{4} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - \dfrac{14}{3}x + \dfrac{3}{4} = 0 \)
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 3 ve 4'ün EKOK'u olan 12 ile çarpalım.
\( 12x^2 - 56x + 9 = 0 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin